Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

24 2.4. Vetor Tangente; Vetor Normal
No caso discreto, o comprimento de uma curva poligonal é apenas
a soma dos comprimentos de cada segmento da curva poligonal
[(xi(ti), yi(ti)), xi+1(ti+1), yi+1(ti+1))]. De fato, isso corresponde a
definição inicial dada por Riemann do comprimento de arco de uma
curva não discreta convexa é o supremo dos comprimentos de todas
as curvas poligonais inscritas nela.
2.4 Vetor Tangente; Vetor Normal
Caso paramétrico
Seja α : I → R 2 curva parametrizada pelo comprimento de arco.
Vamos denotar por t(s) o vetor tangente α ′ (s) , ou seja, t : I → R 2
é um vetor diferenciável e ||t|| = 1. Existem somente dois vetores
ortogonais a t. Definimos então n(s) = Jt(s) , onde J : R 2 → R 2 é a
rotação de 90 graus no sentido anti-horário. O vetor n(s) é chamado
de normal da curva α(s) em s. Com esta escolha temos n : I → R 2 é
diferenciável e satisfaz
||n(s) || = 1, 〈t(s) , n(s)〉 = 0 e det(t(s) , n(s)) = 1, ∀s ∈ I.
Caso implícito
Figura 2.8: Vetores tangentes e normais.
Já no caso da curva C ser definida implicitamente, ou seja, a curva é
dada por C = {(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = c}, temos que a principal ideia
para encontrarmos estes elementos geométricos é usarmos o teorema
da função implícita o qual garante que localmente a curva pode ser
vista como um gráfico e a partir daí utilizar o caso de curvas paramétricas
para obter essas propriedades.