Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

40 3.2. Mudança de Contextos
Estas expressões são bastante úteis quando formos encontrar as
propriedades geométricas de superfícies implícitas.
Se quisermos passar do contexto de superfícies implícitas para o
caso discreto uma ferramenta muito conhecida é o algoritmo Marching
Cubes que percorre as amostras da grade e gera uma triangulação
local da superfície. Para isso, é necessário o estudo das funções multilineares
por partes, pois o algoritmo Marching Cubes [LC87] usa a
interpolação trilinear.
Implícito contínuo para discreto
Podemos construir uma representação discreta de superfície a partir
de um sinal discreto g[i, j, k] passa por interpolar o sinal g por
uma função contínua (ou suave) f, e considerar a superfície implícita
definida por f. Veremos interpolação, chamada de multilinear, que
gera uma função f contínua (além de C ∞ por partes), e permite uma
construção direta da superfície discreta no computador.
Interpolação trilinear por partes Seja g[i, j, k] sinal tridimensional.
A interpolação local no cubo fi,j,k : [0, 1]×[0, 1]×[0, 1] → R tem
que respeitar as restrições {fi,j,k(ou, ov, ow) = g[i + ou, j + ov, k + ow]
para ouvw ∈ {0, 1}.
A interpolação trilinear por partes é obtida definindo fi,j,k como
a única cúbica que respeite as restrições acima
fi,j,k(u, v, w) = (1 − u)(1 − v)(1 − w)· g [ i , j , k ]
+ u (1 − v)(1 − w)· g [i + 1, j , k ]
+ (1 − u) v (1 − w)· g [ i ,j + 1, k ]
+ u v (1 − w)· g [i + 1,j + 1, k ]
+ (1 − u)(1 − v) w · g [ i , j ,k + 1]
+ u (1 − v) w · g [i + 1, j ,k + 1]
+ (1 − u) v w · g [ i ,j + 1,k + 1]
+ u v w · g [i + 1,j + 1,k + 1].
Essa interpolação conserva a propriedade de ser bilinear em qualquer
plano paralelo aos eixos, e linear em qualquer reta paralela a
um eixo, garantindo a continuidade da interpolação e a simplicidade
da solução ao longo das arestas de cada cubo (ver Figura 3.6).