Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 79
4.4 Curvas Implícitas
Nesta seção encontraremos os invariantes geométricos afins: τ, η e µ
de uma curva implícita f : U ⊂ R 2 → R. A principal ideia para
encontrarmos tais invariantes afins é usarmos o teorema da função
implícita, o qual garante que localmente a curva pode ser vista como
um gráfico e usar o teorema de Sard o que diz que o conjunto dos
pontos onde o vetor gradiente se anula tem medida nula.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que o vetor gradiente
∇f = (fx, fy) �= 0, logo podemos admitir que fy �= 0, então existe
um intervalo aberto J ⊂ R e uma função g : J → R tal que a
curva localmente é dada como um gráfico, ou seja, {x ∈ J; (x, g(x))}.
Suponhamos ainda que a curva seja convexa, isto equivale a g ′′ �= 0
e podemos ainda admitir que g ′′ > 0.
Usando a seção anterior temos as fórmulas dos invariantes τ, η e µ,
mas observemos que tais fórmulas são dadas em função de g, então
basta encontrar relações entre as derivadas de f e g, que é consequência
direta do teorema da função implícita.
Parábola Hipérbole Elipse
f y − 1
2 x2 xy = c, c > 0
t
n
κ
τ
η
√ 1
·(1, x)
1+x2 √ 1
·(−x, 1)
1+x2 1
x 2
a 2 + y2
b 2 − 1
√ 1
x4 +c2 ·`x2 , −c ´ √ 1
a4y2 +x2b4 ·`a2y, −xb2´ √ 1
x4 +c2 ·`c, x2´ √ 1
a4y2 +x2b4 ·`xb2 , a2y ´
−2c 2 x 3
a 4 b 4
(1+x2 ) 3 2
(c2 +x4 ) 3 2
(a4y2 +x2b4 ) 3 2
√ 1
1+x2 ·(1, x) 2− 1 “
3 · c − 1 3 x, −c 2 3 x−1 ” “
−a 2 3 b − 4 3 y, a − 4 3 b 2 ”
3 x
√ 1
1+x2 ·(−x, 1) 2− 2 “
3 · c − 2 3 x, c 1 3 x−1 ” “
−ab − 2 3 x, −ab − 2 ”
3 y
µ 0 −(2c) − 2 3 (ab) − 2 3
Tabela 4.2: Exemplos fundamentais de estruturas afins.