Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

86 5.1. Estrutura Afim
exemplo o grupo das transformações dessa geometria não tem uma
álgebra natural associada [GV03], pois a translação não é linear e no
espaço Euclidiano não há uma distinção entre pontos e vetores.
No que segue consideraremos superfícies suaves imersas em R 3
localmente convexa, o que geometricamente significa que a curvatura
Gaussiana K é não-nula.
Queremos encontrar propriedades geométricas P que são invariantes
por transformações do grupo
SA(3, R) = {A ∈ M(3); det(A) = 1} .
Uma propriedade P é dita invariante por A se P(A(p)) = P(p), para
todo p ∈ S 2 , onde S 2 é uma superfície. Para isso, o primeiro passo é
entender o significado de transformações afins.
Transformações Afins
Vamos entender o significado de transformações afins para continuarmos
o nosso estudo de invariantes afins.
Definição 5.1. [GV03] Uma transformação T : R3 → R3 é afim se
T preserva combinação afim de pontos, ou seja,
n�
�
n�
ai = 1 ⇒ T
�
n�
= aiT (Pi) , ai ∈ R,Pi ∈ R 3 . (5.1)
i=1
i=1
aiPi
i=1
Um caso interessante da definição acima é quando n = 3, pois
temos o que chamamos de coordenadas baricêntricas. Outro ponto
importante é que transformações afins preservam retas, ou seja, sejam
a e b pontos em R 3 e seja r(t) = (1−t)a+tb a equação paramétrica da
reta que passa pelos pontos a e b, então T (r(t)) = (1−t)T (a)+tT (b).
Além disso, transformações afins preservam retas paralelas. Com
efeito, duas retas r e s são retas paralelas se, e somente se, existem
pontos distintos a e b sobre r e c e d sobre s tais que a − c = b − d,
daí T (a) − T (c) = T (b) − T (d) e a reta definida por T (a) e T (b) é
paralela àquela definida por T (c) e T (d).
Agora, se T : R 3 → R 3 é uma transformação linear, então existem
a, b, c, d, e, f, g, h, i ∈ R tais que
T (x, y, z) = (ax + by + cz, dx + ey + fz, gx + hy + iz).