Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 3. Geometria Euclidiana: Superfícies 57
Caso implícito
Vimos anteriormente como calcular os coeficientes da primeira e segunda
formas fundamentais de uma superfície dada por uma função
implícita S = f −1 (a) e usando as definições das curvaturas Gaussiana
e média, temos que
K = det(A1) det(A3) − det(A2) 2
=
H =
f 2 z |∇f| 4
�
fzzfyy − f 2 �
2
yz fx + (−2fxyfzz + 2fxzfyz) fyfx
�
f 2
z + f 2 x + f 2 �2 y
+ 2 (−fxzfyy + fxyfyz) fxfz + � fxxfzz − fxz 2� fy 2
�
f 2
z + f 2 x + f 2 �2 y
+ −2 (−fxzfxy + fxxfyz) fyfz + � fxxfyy − fxy 2� fz 2
�
f 2
z + f 2 x + f 2 �2 y
+
=
1
2|∇f| 3
� �
det(A1) 1+ f 2 y
f 2 �
− 2 det(A2)
z
1
2|∇f| 3
� �
det(A3) 1+ f 2 x
f 2 ��
z
� fxfy
(f 2 y +f 2 z )fxx + (f 2 x +f 2 z )fyy + (f 2 x +f 2 y )fzz
2|∇f| 3
− (fxfyfxy +fxfzfxz +fyfzfyz)
|∇f| 3
f 2 z
� �
Observação 3.38. Notemos que ao permutarmos as variáveis x, y e
z nas expressões de K e H obtemos o mesmo resultado. Isto decorre
da invariância das curvaturas.
.
,