Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

More documents

Recommendations

Info

68 4.2. Modelos de Curvas xi+1 zi Figura 4.3: Triângulo de suporte xizixi+1. xi O modelo de polígono parabólico é então definido por um conjunto de pontos xi = α(ti) = (xi(ti), yi(ti)) e de direções tangentes li em cada ponto xi. A cada aresta (xi, xi+1) esta associada uma única parábola passando por xi e xi+1 e tangente às direções li e li+1. Essa parábola pode ser definida a partir do ponto de suporte zi, interseção das retas tangentes em xi e xi+1 (ver Figura 4.3). Essa parábola pode ser parametrizada por αi(s) = xi + sτi + s2 2 ηi , onde s ∈ [0, 1] e (4.2) τi = − 2 (xi − zi) , Li ηi = 2 L2 (xi + xi+1 − 2zi) e i Li = 2 3� Ai . onde Li é a raiz cúbica da área do triângulo de suporte xizixi+1. Veremos na próxima seção que Li é o comprimento afim da parábola, τi o vetor tangente afim à parábola em xi e ηi o vetor normal afim (constante) à parábola.
Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 69 4.3 Curvas Paramétricas Vamos primeiro considerar o caso em que a curva seja paramétrica e depois com as expressões de cada propriedade geométrica obteremos os invariantes afins em curvas implícitas, isto é possível, pois localmente qualquer curva implícita regular pode ser vista como um gráfico. Por questão de simplicidade do texto, quando nos referirmos a transformações afins, estamos trabalhando com transformações lineares que preservam área. 4.3.1 Comprimento de Arco Afim No estudo de curvas na geometria Euclidiana o primeiro ingrediente para encontrar as propriedades geométricas é o cálculo do comprimento de arco. Vimos que sempre é possível reparametrizar uma curva regular de tal forma que o vetor velocidade da curva seja unitário. Agora, queremos definir o comprimento de arco afim e com isso poder avançar no estudo das propriedades geométricas que são invariantes por transformações afins. Definição 4.10. Seja α uma curva definida no plano e seja A uma transformação afim do plano. Uma função escalar g em α é invariante afim se, para todo ponto p ∈ α, g(A(p)) = g(p) . Analogamente um vetor V em α é invariante afim se, para todo p ∈ α, V (A(p)) = V (p) . Esta notação é mais conhecida como invariante equiafim. O próximo resultado mostra que toda curva α : I ⊂ R → R 2 não degenerada pode ser reparametrizada de tal forma que α ′ ∧ α ′′ = 1. Proposição 4.11. Seja α : I → R 2 uma curva não-degenerada, então existe um difeomorfismo h : I → J tal que αs ∧αss = 1, ∀s ∈ J. Demonstração: De fato, suponhamos que exista um difeomorfismo h : I → J tal que αs ∧ αss = 1, ∀s ∈ J. Consideremos a reparametrização β : J → R 2 . Assim, α(t) = β(h(t)) = β(s). Diferenciando esta última equação temos αt = ds βs dt , � ds dt αtt = βss � 2 d + αs 2s . dt2
Page 1:
Cálculo e Estimação de Invariant
Page 4 and 5:
Copyright © 2011 by M. Andrade e T
Page 7 and 8:
Sumário 1 Introdução 7 1.1 Objet
Page 9:
Sumário 5 5.3 Interpretação Geom
Page 12 and 13:
8 1.1. Objetos Geométricos Este li
Page 14 and 15:
10 1.3. Contextos de Modelagem 1.3
Page 16 and 17:
12 1.4. Técnicas de Mudança de Co
Page 19 and 20:
Capítulo 2 Geometria Euclidiana: C
Page 21 and 22: Capítulo 2. Geometria Euclidiana:
Page 33: Capítulo 2. Geometria Euclidiana:
Page 36 and 37: 32 3.1. Modelos Euclidianos de Supe
Page 44 and 45: 40 3.2. Mudança de Contextos Estas
Page 46 and 47: 42 3.2. Mudança de Contextos Figur
Page 48 and 49: 44 3.3. Plano Tangente; Vetor Norma
Page 50 and 51: 46 3.4. Primeira Forma Fundamental
Page 52 and 53: 48 3.4. Primeira Forma Fundamental
Page 54 and 55: 50 3.5. Segunda Forma Fundamental E
Page 56 and 57: 52 3.5. Segunda Forma Fundamental $
Page 58 and 59: 54 3.5. Segunda Forma Fundamental 3
Page 60 and 61: 56 3.5. Segunda Forma Fundamental C
Page 62 and 63: 58 3.5. Segunda Forma Fundamental 3
Page 64 and 65: 60 3.6. Discussão perfície discre
Page 66 and 67: 62 4.1. Invariância Afim Definiç
Page 68 and 69: 64 4.1. Invariância Afim Cônicas
Page 70 and 71: 66 4.2. Modelos de Curvas 4.2 Model
Page 74 and 75: 70 4.3. Curvas Paramétricas Logo,
Page 76 and 77: 72 4.3. Curvas Paramétricas '"#$%
Page 78 and 79: 74 4.3. Curvas Paramétricas Portan
Page 80 and 81: 76 4.3. Curvas Paramétricas Propos
Page 82 and 83: 78 4.3. Curvas Paramétricas O pont
Page 84 and 85: 80 4.4. Curvas Implícitas 4.4.1 Ex
Page 86 and 87: 82 4.5. Discussão 4.4.3 Fórmulas
Page 89 and 90: Capítulo 5 Geometria Afim: Superf
Page 91 and 92: Capítulo 5. Geometria Afim: Superf
Page 120 and 121: 116 5.7. Discussão Figura 5.13: Me
Page 122 and 123:
118 6.1. Problemas Discretos tal
Page 124 and 125:
120 6.3. Desafios Atuais 6.3 Desafi
Page 126 and 127:
122 Referências Bibliográficas [C
Page 128 and 129:
124 Referências Bibliográficas [M
Page 131:
Índice Remissivo Área, 48 Aplica
show all

Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?