Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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92 5.2. Superfícies Paramétricas Esta relação faz sentido, pois σ(U) é uma superfície convexa tal que σ(U(p)) pertence a um dos lados do plano tangente dσ(p) em p. Como d 1/4 = [ ν, νu, νv ] �= 0, então as derivadas ν {u,v} definem um plano próprio. O vetor normal afim pode ser obtido através do vetor ortogonal ao plano gerado por {νu, νv}, este seria análogo ao vetor normal Euclidiano N. Mais precisamente, o vetor normal afim ξ é definido localmente pela relação 〈ν, ξ〉 = 1, 〈ξ, ν {u,v}〉 = 0. O normal afim satisfaz 〈ν, ξ {u,v}〉 = 0 e d 1/4 = [ σu, σv, ξ ] . Esta última relação mostra que uma base local em cada ponto p da superfície pode ser obtida por {σu, σv, ξ}. Isto permite definir estruturas a partir da teoria de Cartan dos “moving frames”. Desde que o normal afim ξ satisfaz 〈ν, ξ〉 = 1, 〈ξ, νu〉 = 〈ξ, νv〉 = 0, temos que existe uma função λ : U → R tal que ξ = λ(νu × νv), com λ = [ ν, νu, νv ] −1 = d −1/4 . Além disso, utilizando o operador de Laplace-Beltrami △g, onde g é a métrica de Berwald-Blaschke, é possível definir (ver [Buc83]) o normal afim por ξ = 1 2△gσ, sendo σ : S2 → R3 uma parametrização de S, temos ξ = 1 |LN − M 2 2 | 1/4 � � ∂ Nσu − Mσv ∂ Lσv − Mσu √ √ + √ . LN − M 2 ∂u LN − M 2 ∂v LN − M 2 Afirmamos que ξ não pertence ao TpS. Com efeito, [ σu, σv, ξ ] = |LN − M 2 | 1/4 = |EG − F 2 | 1/2 , onde E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental Euclidiana. Como estamos desconsiderando pontos parabólicos temos que o determinante acima é diferente de 0. Na geometria Euclidiana o plano tem vetor normal N constante, em particular as curvaturas são nulas e a esfera tem curvatura constante, por comparação com a geometria afim os parabolóides têm normal afim ξ constante e curvaturas afins nulas, já o elipsóide tem curvatura constante.
Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 93 Existe uma interpretação geométrica natural do normal afim em pontos elípticos [Buc83]. Consideremos uma superfície S e seja um ponto p ∈ S elíptico. Seja Pt uma família de planos paralelos ao plano tangente P0 = TpS. A interseção de Pt com a superfície, para t suficientemente pequeno, limita um domínio convexo em Pt. Cada curva planar convexa tem um centro de massa, o lugar do centro de massa, ou centro de gravidade, desses domínios define uma curva cuja direção tangente é a direção do normal afim de S em p. 5.2.4 Curvaturas Afins No caso de goemetria Euclidiana as curvaturas descrevem a variação do normal. Vimos que 〈ν, ξ {u,v}〉 = 0, isto é, as derivadas ξ {u,v} são ortogonais a ν, o qual é paralelo a N, em particular ξu e ξv ∈ TpS. Portanto, podemos definir o operador forma S : TpS → TpS dado por Sp(v) = −Dvξ. Definição 5.6. Os autovetores e autovalores do operador forma são chamados, respectivamente, direções e curvaturas principais afins. Como ξ {u,v} são tangentes à superfície temos que existem funções (bij)1≤i≤2 : U → R tais que ξu = b11σu + b12σv, ξv = b11σu + b12σv. Os coeficientes bij formam uma matriz B = (bij)1≤i≤2, cujo determinante e o negativo da metade do traço são respectivamente as curvaturas Gaussiana e média afins: K = detB, H = − 1 2trB. Podemos escrevê-los explicitamente como b11 = d −1 /4 · [ ξu, σv, ξ ] , b12 = d −1 /4 · [ σu, ξu, ξ ] , (5.5) b21 = d −1 /4 · [ ξv, σv, ξ ] , b22 = d −1 /4 · [ σu, ξv, ξ ] .
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