Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

112 5.7. Discussão
Figura 5.9: Normal afim ξ sempre calculado usando z na derivação
implícita (esquerda), o eixo na maioria dos casos alinhado com o
gradiente (meio), ou a nossa redução geométrica (à direita).
Uma das características geométricas desejadas no nosso estudo de
propriedades invariantes foi a invariância por transformações afins.
Sabemos da geometria Euclidiana que as curvaturas são invariantes
por movimentos rígidos, entretanto não são invariantes por transformações
afins quaisquer. Neste sentido, buscamos estudar propriedades
geométricas que fossem invariantes por um grupo maior
de transformações que as transformações rígidas que são as transformações
afins lineares que preservam volumes. Vimos que para
obter tais invariantes foi necessário pedir que a função que define a
superfície seja de classe C 4 . Do ponto de vista numérico isso causa
mais dificuldade na estimativa dos invariantes.
Utilizamos o algoritmo Marching Cubes [LC87] para extração de
superfícies implícitas. O primeiro passo para usarmos este algoritmo
e construirmos o nosso foi o cálculo das derivadas até a quarta ordem.
Matrizes Aplicações Fórmulas Total
A, A −1 de ∂( ˜ f) simplificadas
Simplificada 749 7.335 1.783 9.867
Direta 23.690
Tabela 5.2: Número de operações para um único ponto. As fórmulas
simplificadas são muito mais concisas e incluem principalmente
operações de mapear as derivadas.
Podemos trabalhar diretamente com as fórmulas obtidas dos invariantes,
o que em particular causa algumas instabilidades numéricas
ou utilizar a existência de uma transformação afim A que simplifica