Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 19
2.1.3 Curvas Poligonais
No caso discreto paramétrico, a parametrização α é definida a partir
de um conjunto finito de parâmetros. Uma opção é usar estes para
definir uma equação da curva, por exemplo os parâmetros podem
ser os coeficientes de polinômios definindo x(t), , y(t)).
É o caso das
curvas spline, em particular as curvas de Bézier quando a base de
polinômios é a base de Bernstein. Porém, seria muito limitante usar
apenas curvas inteiramente descritas por um único par de polinômios.
Por isso, usa-se curvas polinomiais por parte
⎧
⎪⎨
α(t) =
⎪⎩
(x0(t), y0(t)) , t ∈ [t0 = a, t1]
(x1(t), y1(t)) , t ∈ [t1, t2]
(x2(t), y2(t)) , t ∈ [t2, t3]
. . .
(xk−1(t), yk−1(t)) , t ∈ [tk−1, tk]
(xk(t), yk(t)) , t ∈ [tk, tk+1 = b],
onde xi e yi são polinômios. Para a curva ser contínua, precisa garantir
que xi−1(ti) = xiti e yi−1(ti) = yiti para 1 ≤ i ≤ k. Pode-se
impor curvas de classe C 1 impondo restrições similares nas derivadas
de xi e yi.
O caso mais simples de curva contínua é onde todos os polinômios
são de grau 1, ou seja ,curvas lineares por parte. Essa é inteiramente
definida pelas extremidades de cada parte (xi(ti), yi(ti)) para
0 ≤ i ≤ k + 1 (com a convenção ou de curva fechada, ou que
(xk+1(tk+1), yk+1(tk+1)) = (xk(tk+1), yk(tk+1))). Esse modelo de
curva é chamado de polígono.
2.2 Mudança de Contexto
Quando estudamos curvas no caso suave vimos que temos duas representações:
paramétrica e implícita. É possível ver uma curva
implícita, localmente, como um gráfico, isto é, como uma curva paramétrica,
graças ao teorema da função implícita, a saber