Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

32 3.1. Modelos Euclidianos de Superfícies
Definição 3.1. Um subconjunto S ⊂ R 3 é uma superfície regular
se, para cada p ∈ S, existe uma vizinhança V de p em R 3 e uma
aplicação σ : U → V ∩ S de um aberto U de R 2 sobre V ∩ S tal que
1. σ é diferenciável.
2. σ é um homeomorfismo. Como σ é contínua pela condição 1,
isto significa que σ tem inversa σ −1 : V ∩S → U que é contínua.
3. Para todo p ∈ U a diferencial dσp : R 2 → R 3 é injetiva.
!"
"
!"#$%&
!
!"
'
(
##$
&
'
!
%
#""""$ !
Figura 3.1: Definição de superfície.
!)!"#$%#*!"#$%#+!"#$%%
Escrevendo σ em coordenadas, σ(u, v) = {x(u,v) , y(u,v) , z(u,v)},
podemos dizer que σ é diferenciável é equivalente a dizer que as
funções x, y e z são diferenciáveis.
A última condição da definição equivale a σu × σv �= 0, ou seja,
os vetores σu = ∂σ
∂u e σv = ∂σ
∂v
são linearmente independentes.
A aplicação σ é chamada de parametrização em p. Ela tem o
mesmo papel que a parametrização da curva α para superfícies, porém
a expressão de σ pode variar de região para região permitindo mais
tipos de superfícies. A vizinhança V ∩ S de p é chamada vizinhança
coordenada e as variáveis u, v são denominadas coordenadas locais de
S.
Exemplo 3.2. Consideremos a esfera unitária dada por
S 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}.
Afirmamos que S 2 é uma superfície regular.