Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

66 4.2. Modelos de Curvas
4.2 Modelos de Curvas
Modelo contínuo
Vimos que a curvatura da curva α : I → R2 regular é k = α′ ∧ α ′′
||α ′ , o
|| 3
que implica que α ′ e α ′′ são linearmente independentes quando k �= 0.
Suponhamos, sem perda de generalidade que α ′ ∧ α ′′ > 0, ou seja, α
é localmente estritamente convexa.
Definição 4.7. Uma curva α : I → R 2 é não degenerada se satisfaz
α ′ ∧ α ′′ �= 0.
Observação 4.8. Daremos a interpretação geométrica da definição,
suponhamos que α ′ ∧α ′′ > 0, ∀t ∈ I. Utilizando o Teorema de Taylor,
para δ suficientemente pequeno temos
α(t + δ) − α(t) = δα ′ (t) + 1
2 δ2 α ′′ (ɛ),
onde ɛ está entre t e t + δ. Assim,
α ′ (t) ∧(α(t − δ) − α(t)) = α ′ (t) ∧
= 1
2 δ2 α ′ (t) ∧ α ′′ (ɛ).
�
δα ′ (t) + 1
2 δ2α ′′ �
(ɛ)
Notemos α ′ (t)∧α ′′ (ɛ) > 0, devido a continuidade da função determinante,
daí a secante desde α(t) para α(t+δ) pertence a um mesmo
lado da reta tangente. Isto é, a curva α é não degenerada, significa
que a curva não tem pontos de inflexão, ou ainda que a curvatura da
curva não muda de sinal.
A observação acima sugere a seguinte definição.
Definição 4.9. [LM98] Uma curva α é localmente estritamente convexa
se não possui pontos de inflexão. Mais geralmente, α é localmente
convexa se sua curvatura não muda de sinal, podendo eventualmente
se anular em algum ponto. Finalmente, α é convexa se, para
qualquer p ∈ α, α está inteiramente contida num dos semi-planos
fechados determinados pela reta tangente em p.