Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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96 5.3. Interpretação Geométrica Seja |R| a área da região R. Passando ao limite quando |R| → 0, temos A lim |R|→0 ′ A A = lim |R|→0 ′ |R| A = |R| �� 1 lim |R|→0 K||xu × xv||dudv |R| ��R 1 lim |R|→0 ||xu × xv||dudv |R| R = K||xu × xv|| ||xu × xv|| = K, na penúltima igualdade usamos o teorema do valor médio para integrais duplas. � Vale comentar que usamos a conversão de que a área de uma região contida em uma vizinhança conexa V e a área de sua imagem por ξ, ver equação (5.8), têm o mesmo sinal se K > 0 em V, e sinais opostos se K < 0 em V. Sendo assim, o resultado acima também é válido quando K(p) < 0. 5.3.1 Fórmula de Minkwoski Afim Nesta subseção estendemos a conhecida fórmula de Minkwoski para dados geométricos afins. Teorema 5.8. [Fórmula de Minkwoski Afim] Seja Ω um domínio no plano e seja S uma superfície parametrizada por σ(u, v) compacta e convexa tal que S = σ(Ω). Consideremos uma variação dessa superfície ao longo do vetor normal afim, isto é, σt(u, v) = σ(u, v) + tξ(u, v), onde 0 ≤ t ≤ T . Então, �� 3 �� 2 T V ol(U) = V ol(U) + T Ā(Ω) − T HdĀ + Kd 3 Ω Ā, onde U é a região limitada por σ(u, v), Ā é área afim da região Ω, dĀ = d1/4dA é o elemento de área afim e U é a região limitada por σt(u, v). Ω
Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 97 Demonstração: Por definição temos que � V ol(U) = V ol(U) + 1dV, σt(D) onde D = {(u, v, t)/(u, v) ∈ Ω, t ∈ [0, T (p)]}. Usando a fórmula de mudança de variáveis temos que � σt(D) �� 1dV = D 1|det(Jac(σt))|dtdA, onde Jac(σt) é a matriz Jacobiana de σt. Usando a notação [, , ] para o determinante, obtemos det(Jac(σt)) = � ∂σt ∂u � ∂σt ∂σt , , ∂v ∂t = [σu + tξu, σv + tξv, ξ] = [xu, xv, ξ] + t([ξu, xv, ξ] + [xu, ξv, ξ]) + t 2 [ξu, ξv, ξ] = (1 + t(a + d) + t 2 K)(d 1 /4 ), = (1 − 2H + t 2 K)(d 1 /4 ). Usamos a equação (5.8) na penúltima igualdade. Logo, onde V ol(U) = �� V ol(U) + � T (1 − 2tH + t Ω t=0 2 K)d 1 /4dAdt = �� V ol(U) + � T (1 − 2tH + t 2 K)dĀdt Ω t=0 2 = V ol(U) + T Ā(Ω) − T �� Ω 3 �� T HdĀ + Kd 3 Ω Ā, Ā(Ω) é a área afim da região Ω e dĀ é o elemento de área afim. �
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