Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

74 4.3. Curvas Paramétricas
Portanto, os vetores tangente e normal afins são
�
τ = αs = −a 2/3 b −1/3 �
s
sen
(ab) 1/3
�
, a −1/3 b 2/3 �
s
sen
(ab) 1/3
��
,
�
η = αss = −a 1/3 b −2/3 �
s
cos
(ab) 1/3
�
, −a −2/3 b 1/3 �
s
sen
(ab) 1/3
��
.
Em particular, obtemos que α e n são paralelos, ou seja, o vetor
normal afim da elipse aponta para o centro.
Exercício 4.20. Calcule os vetores e normais afins das outras curvas
cônicas.
Exercício 4.21. Verifique que vetor tangente afim e o vetor normal
afim em xi da parábola definida pela equação (4.2) são de fato os
coeficientes τi e ηi da expressão
αi(s) = xi + sτi + s2
2 ηi.
Agora daremos uma interpretação geométrica do vetor normal
afim η, a qual pode ser obtida em [Buc83]. Seja α : I ⊂ R → R 2 curva
parametrizada não degenerada, isto é, sem pontos de inflexão, ou
ainda α(I) é localmente estritamente convexa. Seja p = α(t0), t0 ∈ I,
como α(I) não tem pontos de inflexão, segue que existe um ɛ > 0 tal
que t0 − ɛ < t < t0 + ɛ os pontos α(t) estão do mesmo lado da reta
tangente de α(I) em α(t0).
Considere uma linha tangente em α(t0) e sejam Lt0 linhas paralelas
a α ′ (t0) no mesmo lado da reta tangente contendo um pedaço
da curva P := {α(t); t0 − ɛ < t < t0 + ɛ}. Para linhas suficientemente
próximas a reta tangente α ′ (t0) elas intersectam P em exatamente
dois pontos. Para cada linha pegamos o pontos médio do segmento
ligando essa interseção. Traçamos uma linha que começa em p e
passa por estes pontos médios. A reta tangente limitando o lugar dos
pontos médios quando aproximamos a p é exatamente a reta normal
afim, ou seja, esta reta contém o vetor normal afim η em p. Notemos
que esta construção é invariante afim, pois paralelismo e pontos
médios são invariantes sobre transformações afins.