Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 81
A transformação completa é definida no seguinte resultado
Teorema 4.27. Em cada ponto regular p da curva implícita dada
por {p ∈ R 2 , f(p) = 0}, existe uma transformação afim A tal que, em
cada ponto ˜p = A(p) da curva implícita
{˜p ∈ R 2 , f(˜p) = f(A −1 (˜p)) = 0}
transformada o gradiente é o vetor unitário vertical: ∇ ˜ f(˜p) = (0, 1).
Demonstração: Primeiro observemos que
∇ ˜ f(˜p) = ∇f(p).A −1
onde o gradiente é escrito em linha. Podemos deduzir as transformações
com uma simples descrição geométrica: decompomos a
transformação como A = SR (veja Figura 4.8), onde R é uma rotação
em R 2 e S é um escalonamento não uniforme. A rotação R é a rotação
que deixa ∇f(p) vertical, isto é, o novo vetor gradiente é dado por
(0, ||∇f(p)||). Mais precisamente,
R = 1
||∇f||
� fy −fx
fx fy
Denotaremos por f R a função implícita transformada, ou seja, denotamos
f R (p) = f(R −1 (p)). Usando a observação acima temos que
�
.
� ∇f R �T = R −T (∇f) T = R(∇f) T = (0, ||∇f(p) ||) T .
Como estamos trabalhando com transformações afins, podemos
definir o escalonamento S como a matriz diagonal S = diag(λ, λ−1 ),
onde λ = ||∇f R || = ||∇f||. Denotando a função transformada por
f S (p) = f R�S−1 (p) � �
= f (SR) −1 �
(p) , temos
� ∇f S �T = S −T � ∇f R�T =(0, 1) T .
�