Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

82 4.5. Discussão
4.4.3 Fórmulas Simplificadas
Nesta subseção, vamos considerar uma curva implícita definida por
� p ∈ R 2 , f(p) = 0 � em uma vizinhança de p tal que ∇f(p) = (0, 1) .
Do teorema anterior, conhecemos que podemos obter tal situação
para qualquer ponto regular. Em tal situação, as fórmulas simplificadas
para as estruturas implícitas são dadas por
τ =
η =
�
−f −1/3
�
xx , 0 ,
�
fxxx − 3fxyfxx
3(−fxx) 5/3
, −(fxx) 1/3
�
,
µ = −5f 2 xxx + 18fxxxfxyfxx + 9f 3 xxfyy − 9f 2 xyf 2 xx
9(−fxx) 8/3
− 18f 2 xxfxxy + 3fxxfxxxx
9(−fxx) 8/3
.
4.5 Discussão
Vimos ao longo deste capítulo estruturas geométricas, em curvas, que
são invariantes por transformações afins. Por um lado, ganhamos a
invariância de propriedades geométricas sob um grupo maior que o
grupo das transformações rígidas que é o grupo maior que o grupo
das transformações afins. Por outro lado, para determinar tais invariantes,
precisamos calcular invariantes até a quarta ordem o que
torna o custo computacional bem mais caro que no caso Euclidiano
que precisava apenas da derivada segunda. Além disso, vimos que
a curvatura afim da curva é o invariante fundamental da geometria
afim.
Para visualizarmos as propriedades geométricas afins em curvas
implícitas (ver Figura 4.5, Figura 4.6) utilizamos o algoritmo Marching
Squares e implementamos dentro dele tais propriedades geométricas.
Uma das dificuldades naturais dessa implementação é o cálculo exato
das derivadas de f até a quarta ordem.
Ao verificar a invariância por meio da comparação dos estimadores
afins antes e depois de uma transformação afim, os vértices gerados