Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 95
5.3 Interpretação Geométrica
da Curvatura Gaussiana Afim
Nesta seção apresentaremos uma interpretação geométrica da curvatura
Gaussiana afim. Esse resultado é uma extensão da interpretação
geométrica da curvatura Gaussiana Euclidiana (ver [DC76]).
Teorema 5.7. Seja p um ponto de uma superfície S e seja V uma
vizinhança conexa de p onde K(p) > 0. Então
A
K(p) = lim
|R|→0
′
A ,
onde A é a área de uma região B ⊂ V , contendo p, A ′ é a área
da imagem de B pela imersão ξ : S → R 3 , que é correspondente
ao vetor normal afim ξ, R é a região do plano uv correspondendo a
B, |R| = área(R) e o limite é tomado através de uma sequência de
regiões Bn que convergem para p, no sentido em que para toda esfera
S centrada em p, existe N tal que S contém todas Bn para n > N.
Demonstração: A área de B é dada por
��
A = ||xu × xv||dudv,
R
onde σ(u, v) é uma parametrização com σ(0) = p, cuja vizinhança
coordenada contém V e R é a região do plano uv parametrizando B.
A área A ′ de ξ(B) é
A ′ ��
= ||ξu × ξv||dudv.
R
Sabemos que podemos escrever
ξu = axu + bxv,
ξv = cxu + dxv,
sendo a curvatura Gaussiana afim em p igual a ad − bc, obtemos
A ′ ��
= K||xu × xv||dudv. (5.8)
R