Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

90 5.2. Superfícies Paramétricas
A forma quadrática em (5.2) é multiplicada por um fator J quando
introduzimos os novos parâmetros ū, ¯v. Comparando os termos correspondentes
da identidade (5.3) com relação a dū, d¯v, temos
Assim,
( ¯ L ¯ N − ¯ M 2 ) = (LN − M 2 )J 4 .
Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2
|LN − M 2 | 1/4
= [ σu, σv, σtt ]
|LN − M 2 | 1/4 dt2 ,
isto mostra que, exceto a diferença de sinal, (5.2) é uma forma diferencial
invariante afim. A métrica procurada é a métrica de Berwald-
Blaschke dada por
ds 2 = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 |LN − M 2 | 1/4
,
onde L = [ σu, σv, σuu ] , M = [ σu, σv, σuv ] e N = [ σu, σv, σvv ] ,
a qual será considerada não-degenerada, isto é, |LN − M 2 | �= 0.
5.2.2 Primeira Forma Fundamental Afim
Definição 5.4. A primeira forma fundamental afim é a aplicação
definida por
Ix = �
gijdidj,
i,j=u,v
L
onde g11 =
|LN − M 2 | 1/4 , g12
M
= g21 =
|LN − M 2 e
| 1/4
N
g22 =
|LN − M 2 .
| 1/4
Observação 5.5. Podemos relacionar a primeira forma fundamental
afim com os coeficientes lij da segunda forma fundamental Euclidiana
da seguinte maneira
lij = 〈N, σij〉 =
� �
σu × σv
, σij =
||σu × σv|| [σu, σv, σij]
||σu × σv|| ,
sendo N o normal Euclidiano dado por N = σu × σv
||σu × σv|| .