Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

8 1.1. Objetos Geométricos
Este livro pretende apresentar algumas definições de invariantes
usuais tanto no contexto diferencial como no contexto discreto. O enfoque
do curso será no plano e superfícies no espaço tridimensional,
afim de facilitar o acompanhamento deste e de poder incluir resultados
discretos, pois ainda há poucos estudos sobre hipersuperfícies
discretas mais gerais.
Além dos invariantes Euclidianos, já bastante estudados, apresentaremos
invariantes afins. Por um lado, isso permite ilustrar conceitos
conhecidos num caso mais crítico, em termos de intuição geométrica e
estabilidade numérica. Por outro lado, os invariantes afins são temas
de pesquisas atuais com muitas aplicações originais a serem desenvolvidas,
em particular, nas áreas de visão computacional e reconhecimento
de formas em duas e três dimensões.
1.1 Objetos Geométricos
Entendemos por objeto geométrico um conjunto contínuo de pontos
no espaço R n . Neste livro, limitaremos aos casos n = 2 e n = 3,
ou seja, objetos no plano R 2 e no espaço R 3 . Além de continuidade,
exigiremos do conjunto a propriedade de variedade, isto é de ter uma
dimensão.
Mais precisamente, um objeto geométrico S é uma variedade de
dimensão d se ele é localmente equivalente ao espaço vetorial R d :
para qualquer ponto p ∈ S, existe uma bola B de Rn tal que B ∩ S é
equivalente a uma bola B de Rd . É importante notar que a dimensão
d é a mesma para todos os pontos p. Se d = 1 e n = 2, chamamos S
de curva planar, e se d = 2 e n = 3 então S é chamada de superfície.
Serão os dois casos abordados neste texto.
A noção de equivalência do parágrafo anterior varia dependendo
do contexto de estudo. Para estudar as propriedades topológicas
usa-se geralmente a noção de homeomorfismo (existe uma função f
contínua de inversa contínua entre B∩S e B). Para estudos de geometria
diferencial, será necessário uma equivalência com difeomorfismo
(a função f precisa ser de classe Ck ou C∞ ). No caso da geometria
discreta, ainda não foi desenvolvido uma noção de equivalência única
comum aos diversos estudos, e algumas equivalências discretas serão
discutidas neste livro.