Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 101
Figura 5.2: Normal afim ξ (à esquerda) e co-normal ν (à direita)
direções no elipsóide, o co-normal é co-linear com o normal Euclidiano,
enquanto que o normal afim aponta em direção ao centro do
elipsóide, enfatizando que um elipsóide é a imagem afim de uma esfera.
5.5.2 Co-normal Afim e Normal Afim
O vetor covariante normal afim, chamado de co-normal afim ν pode
ser obtido escalonando o vetor normal Euclidiano [Cal82] (ver Figura
5.2) pela equação (5.6)
ν = | K | −1 /4 N = � � gxxgyy − g 2 xy
�
� −1 /4
( −gx, −gy, 1 ) , (5.10)
onde K é a curvatura Gaussiana Euclidiana. O vetor co-normal afim
satisfaz 〈 ν , g {x,y} 〉 = 0. e a métrica d 1 /4 = [ ν, νx, νy ] .
A fórmula geral para o co-normal em uma superfície implícita
pode ser encontrada a partir das equações (3.1) e (5.6)
ν =
1
fz d 1 /4
( fx, fy, fz ) .
Agora descreveremos fórmulas para o vetor normal afim. Como
[ ν, νx, νy ] = d 1 /4 �= 0, então temos que νx e νy definem um plano
próprio. O vetor afim pode ser obtido olhando para o vetor ortogonal
a este plano e seria equivalente ao normal Euclidiano (ver Figura 5.2).
Mais precisamente, o vetor normal afim ξ é definido localmente pela
relação:
〈 ν , ξ 〉 = 1 , 〈 ξ , ν {x,y} 〉 = 0.
O normal afim satisfaz 〈 ν , ξ {x,y} 〉 = 0 e [ gx, gy, ξ ] = d 1 /4 .