Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

More documents

Recommendations

Info

38 3.1. Modelos Euclidianos de Superfícies da eventual complexidade do bordo. Por isso é comum usar um caso particular de complexos celulares, mais simples, chamada de complexos simpliciais [BY98] (ver Figura 3.5). Neste caso, as células são simplexos, que generalizam pontos, segmentos de reta, triângulos, tetraedros, etc. Definição 3.15 (Simplexo). Um simplexo T de dimensão d é o fecho convexo de d + 1 pontos em posição geral. O fecho convexo é o menor conjunto convexo contendo os pontos. Por exemplo, o fecho convexo de três pontos no plano é o triângulo tendo esses pontos como vértices. Os pontos precisam está em posição geral (não tendo três pontos alinhados, quatro pontos coplanares) para evitar que o simplexo degenere. Os simplexos de dimensão 0, 1 e 2 são respectivamente chamados de vértices, arestas e triângulos. Observe que as faces de dimensão d−1 de um simplexo de dimensão d são simplexos de dimensão d−1, pois são os fechos convexos de d dos d + 1 pontos. Exercício 3.16. Verifique que um simplexo de dimensão d tem � � d k faces de dimensão k. Propriedade de variedade local Para um complexo simplicial corresponder a uma superfície (não necessariamente suave), não pode haver simplexos de dimensão maior ou igual a 3, nem vértices ou arestas isolados (não contidos no bordo de outra célula). Cada ponto de um triângulo verifica a propriedade de variedade local. Para a aresta, ela pode ser considerada no meio de um pedaço de plano se ela pertencer exatamente ao bordo de dois triângulos. Esta propriedade será fundamental para os algoritmos de Marching Cubes. Um vértice verifica a propriedade de variedade local se a união das arestas e dos triângulos em volta dele é conexa. Neste caso, chamamos o complexo simplicial de malha triangular ou de superfície discreta triangulada Exercício 3.17. Verifique que a condição de variedade local para um vértice é válida apenas se as arestas em volta verifiquem a condição de variedade local.
Capítulo 3. Geometria Euclidiana: Superfícies 39 3.2 Mudança de Contextos Implícito para paramétrico Introduzimos na seção anterior as definições de superfícies regulares e discreta em R 3 . Um resultado fundamental para o estudo de superfícies implícitas é o Teorema da Função Implícita, a saber Teorema 3.18. [Teorema da Função Implícita] Sejam U ⊂ R 3 um aberto, p = (x0, y0, z0) ∈ U, a ∈ R e seja f : U → R função diferenciável. Suponhamos que f(p) = a e fz(p) �= 0. Então existem uma vizinhança V de (x0, y0) em R 2 e uma vizinhança W de z0 em R tal que V × W ⊂ U e uma função diferenciável g : V → W com g(x0, y0) = z0 tal que: {p ∈ V × W |f(p) = a} = {(x, y, g(x, y)) ∈ R 3 |(x, y) ∈ U}. Em outras palavras, se fz(p) �= 0, podemos utilizar a equação f(x, y, z) = a para expressar z como uma função de x e y, em uma certa vizinhança de p. Isto possibilita ver uma superfície implícita regular localmente como um gráfico, ou seja, como uma superfície paramétrica. Notemos que não conhecemos a função g do teorema da função implícita, mas podemos relacionar as derivadas da função f com as da g, gx(x, y) = − fx(p) fz) , gy(x, y) = − fy(p) , fz gxx(x, y) = − fxx fz gxy(x, y) = − fxy fz gyy(x, y) = − fyy fz + 2 fxzfx 2 fzzfx 2 − fz fz 3 , (3.1) + fyzfx + fyfxz fz 2 + 2 fyzfy 2 fzzfy 2 − fz fz 3 , onde as derivadas de f são calculadas em p. − fyfzzfx fz 3 ,
Page 1: Cálculo e Estimação de Invariant
Page 4 and 5: Copyright © 2011 by M. Andrade e T
Page 7 and 8: Sumário 1 Introdução 7 1.1 Objet
Page 9: Sumário 5 5.3 Interpretação Geom
Page 12 and 13: 8 1.1. Objetos Geométricos Este li
Page 14 and 15: 10 1.3. Contextos de Modelagem 1.3
Page 16 and 17: 12 1.4. Técnicas de Mudança de Co
Page 19 and 20: Capítulo 2 Geometria Euclidiana: C
Page 21 and 22: Capítulo 2. Geometria Euclidiana:
Page 33: Capítulo 2. Geometria Euclidiana:
Page 36 and 37: 32 3.1. Modelos Euclidianos de Supe
Page 44 and 45: 40 3.2. Mudança de Contextos Estas
Page 46 and 47: 42 3.2. Mudança de Contextos Figur
Page 48 and 49: 44 3.3. Plano Tangente; Vetor Norma
Page 50 and 51: 46 3.4. Primeira Forma Fundamental
Page 52 and 53: 48 3.4. Primeira Forma Fundamental
Page 54 and 55: 50 3.5. Segunda Forma Fundamental E
Page 56 and 57: 52 3.5. Segunda Forma Fundamental $
Page 58 and 59: 54 3.5. Segunda Forma Fundamental 3
Page 60 and 61: 56 3.5. Segunda Forma Fundamental C
Page 62 and 63: 58 3.5. Segunda Forma Fundamental 3
Page 64 and 65: 60 3.6. Discussão perfície discre
Page 66 and 67: 62 4.1. Invariância Afim Definiç
Page 68 and 69: 64 4.1. Invariância Afim Cônicas
Page 70 and 71: 66 4.2. Modelos de Curvas 4.2 Model
Page 72 and 73: 68 4.2. Modelos de Curvas xi+1 zi F
Page 74 and 75: 70 4.3. Curvas Paramétricas Logo,
Page 76 and 77: 72 4.3. Curvas Paramétricas '"#$%
Page 78 and 79: 74 4.3. Curvas Paramétricas Portan
Page 80 and 81: 76 4.3. Curvas Paramétricas Propos
Page 82 and 83: 78 4.3. Curvas Paramétricas O pont
Page 84 and 85: 80 4.4. Curvas Implícitas 4.4.1 Ex
Page 86 and 87: 82 4.5. Discussão 4.4.3 Fórmulas
Page 89 and 90: Capítulo 5 Geometria Afim: Superf
Page 91 and 92: Capítulo 5. Geometria Afim: Superf
Page 93 and 94:
Capítulo 5. Geometria Afim: Superf
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 120 and 121:
116 5.7. Discussão Figura 5.13: Me
Page 122 and 123:
118 6.1. Problemas Discretos tal
Page 124 and 125:
120 6.3. Desafios Atuais 6.3 Desafi
Page 126 and 127:
122 Referências Bibliográficas [C
Page 128 and 129:
124 Referências Bibliográficas [M
Page 131:
Índice Remissivo Área, 48 Aplica
show all

Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?