Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

70 4.3. Curvas Paramétricas
Logo,
det(αt, αtt) =
� � �2 ds ds d
det βs , βss + αs
dt dt
2s dt2 �
=
� �3 ds
det(αs, αss) .
dt
Por outro lado, estamos supondo que det(αs, αss) = 1. O que implica,
Fixando t0 ∈ I definimos
s = h(t) =
ds = det(αt, αtt) 1/3 dt.
� t
det(α ′ (x), α ′′ (x)) 1/3 dx (4.3)
t0
Dessa forma, definindo h como a equação (4.3) temos que h é suave
e usando o teorema fundamental do cálculo mais o fato que α é não
degenerada temos que h ′ (t) = det(α ′ (t), α ′′ (t)) 1/3 �= 0, ∀t ∈ I, logo h
é um difeomorfismo. �
Observação 4.12. No caso mais geral, isto é, α : I ⊂ R → Rn , é
fácil mostrar que
�
h(t) = det(α ′ , α ′′ , · · · , α (n) ) 2/(n(n+1)) dx.
I
Definição 4.13. O comprimento de arco afim de uma curva não
degenerada α : I ⊂ R → R2 medido a partir de t0 ∈ I, é definida por
L(t) =
� t
det(α ′ (x), α ′′ (x)) 1/3 dx.
t0
Além disso, dizemos que α está parametrizada pelo comprimento
de arco afim quando det(αs, αss) = 1, ∀s ∈ J = h(I).
Como consequência dos resultados anteriores obtemos
Colorário 4.14. Seja α : I → R 2 uma curva não degenerada parametrizada
pelo comprimento de arco, então existe um difeomorfismo
h : J → I tal que α ◦ h esta parametrizada por comprimento de arco
afim.