Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 99
Demonstração: A prova completa desse resultado pode ser encontrada
em [Spi99] não a demonstraremos pois não é o objetivo desse
trabalho. A ideia da prova é mostrar que é possível obter o normal
afim ξ = (0, 0, 1), o que equivale a mostrar os coeficientes da expansão
de Taylor de segunda e terceira ordem satisfazem as equações de apolaridade.
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5.5 Superfícies Implícitas
Consideremos a partir daqui superfície descrita implicitamente, isto
é, S = {(x, y, z) ∈ R 3 , f(x, y, z) = 0}, onde f é de classe C 4 e
0 é valor regular de f. Dado um ponto p ∈ S que é regular, ou
seja, ∇f(p) = ( fx, fy, fz ) (p) �= 0, assumiremos, sem perda de generalidade
que fz(p) �= 0. O teorema da função implícita garante
a existência de uma função g : U ⊂ R 2 → R tal que a equação
z = g(x, y) descreve a superfície S em uma vizinhança de p. Portanto,
S pode ser parametrizada em volta de p como um gráfico
G = {(x, y, g(x, y)/(x, y) ∈ U}. Embora, em geral seja difícil de encontrar
g, as derivadas de g no ponto (x, y) são facilmente expressas
a partir das derivadas de f, usando o fato que
obtemos
gx(x, y) = − fx(p)
fz(p)
f(x, y, g(x, y)) = 0,
e gy(x, y) = − fy(p)
. (5.9)
fz(p)
Notemos que as fórmulas encontradas a partir do teorema da
função implícita podem conduzir a instabilidades numéricas quando
|fz(p) | tem valor pequeno.
Os vetores tangentes que são combinações de
gx = ( 1, 0, gx ) e gy = ( 0, 1, gy ) ,
são naturalmente covariantes sobre qualquer transformação linear A,
isto é, g {x,y}(A(p)) = Ag {x,y}(p) (isto é uma consequência direta da
regra da cadeia).