Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

120 6.3. Desafios Atuais
6.3 Desafios Atuais
Existem desafios tanto teóricos como práticos. Enquanto, dado uma
curva desenhada no quadro, é simples descrever as propriedades Euclidianas
da curva (por exemplo deduzir o sinal da curvatura), é muito
menos intuitivo no caso das propriedades afins de uma superfície. O
presente livro é um dos primeiros trabalhos a apresentar figuras de
curvatura afim em superfícies não triviais. Seria talvez um primeiro
passo para desenvolver um intuito maior dos invariantes afins, para
considerar esses invariantes úteis para outras áreas da Matemática
em vez de apenas um fim em si só. Além disso, um trabalho similar
resta a fazer no caso projetivo, rico em aplicações porém pouco
estudado do ponto de vista dos invariantes.
Do lado prático, muitas aplicações reais em fotografia e filmagem
3d, usam projeções dos objetos geométricos para modelá-los. O processo
de projeção é complexo, mas preservam os invariantes afins de
objetos planos. Porém, a aquisição é ruidosa e envolve um processo
de amostragem nos pixels da camera, o que dificulta o cálculo das
curvaturas de forma robusta e invariante. Enquanto existem vários
métodos de aproximação invariantes Euclidianos, como mínimos quadrados
no espaço, ainda poucos foram desenvolvidos no caso afim.
Maria e Thomas,
Rio de Janeiro, 10 de maio de 2011.