Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 89
Utilizando a regra da cadeia temos
du
σt = σu
σtt = σuu
Assim,
dt
dv
+ σv
dt ,
� du
dt
�2 + 2σuv
du dv
+ σvv
dt dt
� �2 dv
+ σu
dt
d2u + σv
dt2 [ σu, σv, (σ ◦ γ)tt ] = � σu, σv, ˙u 2 σuu + 2 ˙u ˙vσuv + ˙v 2 �
σvv
= ˙u 2 [ σu, σv, σuu ] + 2 ˙u ˙v [ σu, σv, σuv ]
+ ˙v 2 [ σu, σv, σvv ] .
Definindo L = [ σu, σv, σuu ] , M = [ σu, σv, σuv ] e
N = [ σu, σv, σvv ] , obtemos
[ σu, σv, (σ ◦ γ)tt ] = L ˙u 2 + 2M ˙u ˙v + N ˙v 2 .
Portanto a curva σ ◦ γ é assintótica se, e somente se
L ˙u 2 + 2M ˙u ˙v + N ˙v 2 = 0.
Estes determinantes e a forma diferencial quadrática
[ σu, σv, (σ ◦ γ)tt ] dt 2 = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2
d2v .
dt2 (5.2)
são todos invariantes afins sobre um sistema de parâmetros. Vamos
estudar a forma diferencial (5.2) quando introduzirmos novos
parâmetros ū, ¯v ao invés de u e v. Notando que
obtemos
∂u
σū = σu
∂ū
∂v
+ σv
∂ū e σ¯v
∂u
= σu
∂¯v
∂v
+ σv
∂¯v ,
[ σū, σ¯v, σtt ] = [ σu, σv, (σ ◦ γ)tt ] J, (5.3)
onde J é o determinante Jacobiano
J = ∂u ∂v
∂ū ∂¯v
∂u ∂v
−
∂¯v ∂ū .