Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 21
Dessa forma obtemos uma representação da curva α usando uma
amostragem pontual com amostras α(ti) e utilizando interpolação linear
reconstruímos uma aproximação da curva α. Para fazer a reconstrução
os pontos da amostragem devem estar ordenados corretamente
(ver [GV03]).
Implícito contínuo para discreto
Figura 2.7: Casos do Marching Squares
Já no caso de curvas implícitas C = {(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0} o
processo é um pouco mais complexo, pois para tomarmos amostras
pi, i = 1 · · · n, é necessário encontrar n raízes da equação f(x, y) = 0,
o que pode ser difícil a depender da função f. Para reconstruir a
curva implícita basta seguir a seguinte estratégia
1. Se conhecido o domínio de f, então o discretizamos e determinamos
uma matriz, digamos 10 × 10 pontos, Pij(xi, yj).
2. A cada três pontos, definimos um triângulo.
3. Para cada ponto Pij(xi, yj) calculamos os valores da função
zij = f(xi, yj).
4. Para cada triângulo observamos os sinais Vi = sinal(zij) em
cada vértice e caso aja mudança de sinal, pelo teorema do valor
intermediário, temos que a curva passa pela aresta que é definida
a partir desses vértices. Se algum vértice Vk = 0, então a
função se anula exatamente em Vk.