Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

54 3.5. Segunda Forma Fundamental
3.5.3 Cálculo das Curvaturas
Vamos calcular as fórmulas explícitas para as curvaturas Gaussiana
e média de uma superfície parametrizada regular, em função dos coeficientes
da primeira e da segunda forma fundamental.
Caso paramétrico
Vimos na subseção anterior que dpN : TpS → TpS, assim podemos
escrever Nu, Nv na base {σu, σv} do plano tangente TpS, ou seja,
existem funções (ai,j)1≤i,j≤2 : R 3 → R tais que
Nu = a11σu + a12σv,
Nv = a21σu + a22σv. (3.3)
Vamos encontrar os coeficientes ai,j em termos da base {σu, σv, N}.
Tomando o produto interno de cada uma das igualdades da expressão
(3.3) por σu e σv, obtemos
〈σu, Nu〉 = a11〈σu, σu〉 + a12〈σu, σv〉,
〈σv, Nv〉 = a21〈σv, σu〉 + a22〈σv, σv〉,
〈σu, Nv〉 = a21〈σu, σu〉 + a22〈σv, σu〉, (3.4)
〈σv, Nu〉 = a11〈σv, σu〉 + a12〈σv, σv〉.
Como 〈σu, N〉 = 0 = 〈σv, N〉, temos
Assim,
〈σu, Nu〉 = −〈σuu, N〉,
〈σu, Nv〉 = −〈σuv, N〉,
〈σv, Nv〉 = −〈σvv, N〉.
e = −〈Nu, σu〉 = 〈N, σuu〉,
f = −〈Nu, σv〉 = 〈N, σuv〉 = 〈N, σvu〉 = −〈Nu, σv〉,
g = −〈Nv, σv〉 = 〈N, σvv〉.
Vamos obter, agora, os coeficientes (ai,j)1≤i,j≤2 em termos de
e, f e g.