Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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72 4.3. Curvas Paramétricas '"#$% !"#$% &"#$% Figura 4.4: Interpretação geométrica do tangente e normal afins. Definição 4.18. Dada α uma curva parametrizada pelo comprimento de arco afim, seus vetores tangente e normal afim são definidos, respectivamente por τ = αs, η = αss, onde s é o parâmetro de arco afim. Figura 4.5: Invariantes afins na parábola: tangente e normal, respectivamente. É interessante termos a expressão dos vetores tangente e normal afins quando a curva α(t) = (x(t), y(t)) não está parametrizada pelo comprimento de arco afim. Sendo assim, temos que o elemento de comprimento de arco afim é dado por ds = (x ′ y ′′ − y ′ x ′′ ) 1/3 dt = (α ′ ∧ α ′′ ) 1/3 dt.
Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 73 Daí, segue que os vetores tangente e normal afim são dl τ = αs = αl = tκ−1/3 ds � � ′ x = (x ′ y ′′ − y ′ x ′′ ) −1/3 � η = αss = tκ −1/3� = s d dl (tκ−1/3 ) dl ds = (α ′ ∧ α ′′ ) −1/3 τ ′ = 3 −1 (α ′ ∧ α ′′ ) −5/3 y ′ = (α ′ ∧ α ′′ ) −1/3 � ′ x y ′ � , = −1 3 κ−5/3κlt + κ 1/3 n � ′ −x 3x ′′ � � ′ ′′′ α ∧ α −y ′ 3y ′′ α ′ ∧ α ′′ onde t, n e κ são os vetores tangente, normal e a curvatura Euclidiana da curva. Figura 4.6: Normal afim na elipse. Exemplo 4.19. Seja α(t) = (acos(t), bsen(t)), t ∈ R parametrização da elipse. Temos que o comprimento de arco afim é s = (ab) 1/3t. Para reparametrizar a elipse pelo � comprimento � � de arco � afim, ��usamos a nova parametrização α(s) = acos s , bsen s . (ab) 1/3 (ab) 1/3 � ,
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Capítulo 2 Geometria Euclidiana: C
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