Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

60 3.6. Discussão
perfície discreta, já para o estudo local para estimar invariantes geralmente
usa aproximação, por exemplo através de interpolação splines.
Idealmente, usar-se-ia uma única interpolação para tudo, abrindo o
caminho para estudar categorias de interpolação com as suas respectivas
propriedades. Esta tendência faz parte da pesquisa atual, mas
está só começando.
Existem já alguns elementos simples para desenvolver teorias com
este objetivo. A abordagem mais antiga é de garantir convergência
das construções: se refinarmos infinitamente o reticulado e se o sinal g
convergir (localmente ou uniformemente) para uma função implícita
diferenciável, as curvaturas calculadas por splines convergem para as
curvaturas da superfície implícita diferenciais? A topologia gerada
pelo Marching Cubes vai corresponder à topologia da superfície suave?
A resposta é a priori positiva, apesar de requerer por enquanto
condições de regularidade sobre g que não são necessárias no caso
diferencial [MDSB02, BCM03, MT02].
Um outro problema é a invariância da superfície gerada. O processo
de amostragem ao longo do reticulado não é invariante por
movimentos rígidos, pois privilegia as direções paralelas aos eixos.
Isto dificulta a análise de invariantes no caso implícito discreto.
Finalmente, uma abordagem recente e promissora consiste em preservar
as relações entre a topologia e a geometria. Por exemplo, o
teorema de Gauss-Bonnet estipula que a integral da curvatura Gaussiana
numa superfície sem bordo é igual à 2πχ, onde χ é a característica
de Euler. Isto é válido nos complexos celulares definindo a curvatura
Gaussiana como o déficit angular em cada vértice v: 2π − � βi onde
βi são os ângulos em v dos triângulos tendo v na fronteira [Ban67].
Porém, usando a estimativa da curvatura por splines e a característica
de Euler dada pelo complexo simplicial resultando do Marching Cubes
com interpolação trilinear, esta relação não vale mais. Pode assim
servir de critério para construir uma teoria de interpolação mais coerente.