Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

48 3.4. Primeira Forma Fundamental
3.4.1 Comprimento de Curva na Superfície
Agora mostraremos como a primeira forma fundamental está relacionada
com o comprimento de arco de curvas. Seja α : J ⊂ R → S
curva parametrizada, vimos que o comprimento de arco é
s(t) =
� t
0
||α ′ (t)||dt =
� t
0
� I(α ′ (t))dt.
Se α(t) = σ(u(t), v(t)) está contida em uma vizinhança coordenada
correspondente à parametrização σ(u, v), podemos calcular o
comprimento de arco de α entre a ≤ t ≤ b por
s(t) =
� b
a
� E(u ′ ) 2 + 2F u ′ v ′ + Gv ′2 dt.
3.4.2 Área de uma Região em uma Superfície
Nesta subseção, mostraremos a relação entre os coeficientes da primeira
forma fundamental e a área de uma região em uma superfície.
Seja σ : U ⊂ R 2 → S uma parametrização da superfície S. A
função
||σu × σv|| = � EG − F 2
representa a área do paralelogramo de lados σu e σv. Integrando este
elemento de área sobre a região de um plano que define a superfície
temos a área da superfície.
Definição 3.26. Seja R ⊂ S uma região limitada de uma superfície
regular contida na imagem da parametrização σ : U ⊂ R 2 → S.
Então a área de R é dada por
��
A(R) =
σ−1 �σu × σv�dudv .
(R)
Exercício 3.27. Mostre que A(R) não depende da escolha da parametrização.