Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
August 2009: Delprøven UDEN hjælpemidler
9.070: P(1,-6) Q(-2,3)
Hældningen for den rette linje l gennem P og Q bestemmes:
y2 � y 3� 1 ��6�9 a � � � � �3
x2 � x1
�2 �1 �3
Med P som udgangspunkt og den fundne hældning bliver ligningen for l:
y � �6 � �3� x �1 � y � �3x � 3
� � � �
Skæringen med y-aksen findes ved at sætte x-værdien til 0, dvs: yskæring � �3� 0 � 3 � � 3
Dvs. koordinatsættet er �0, � 3�
Skæringen med x-aksen findes ved at sætte y-værdien til 0, dvs: 0 � �3� x � 3 � x � � 1
Dvs. koordinatsættet er �� 1,0 �
skæring skæring
2 2 2
9.071: x � 6x � y �14y � z � 2z � 23 � 0
Kuglens ligning omskrives til formen, hvor man direkte kan aflæse centrum og radius:
9.072:
9.073:
�x � � y � �z �
2 2 2 2 2 1 2
�3 � �7 � �1 � �23� 3 � 7 �1 � �23� 59 � 36 � 6
Dvs. at:
r � 6 C �3,7, � 1
� �
4x 2 1 dy
2
9.074: f ( x) � e � 2x � x � � 4y � 8x
4 dx
Det undersøges om f er en løsning til differentialligningen ved at indsætte i differentialligningen og
se, om man får en identitet (et udsagn sandt for alle x-værdier). For at kunne gøre dette, skal
funktionen dog først differentieres (der differentieres ledvist og til første led benyttes reglen for
differentiation af sammensat funktion):
4x 2�1 4x
f '( x) � 4� e � 2� 2x �1� 0 � 4� e � 4x � 1
Indsættelse i differentialligningen:
4x � 4x 2 1 � 2
4e � 4x �1 � 4� �e�2x�x���8x� � 4 �
4x 4x 2 2
4e � 4x �1 � 4e �8x � 4x �1� 8x
�
4x 4x
4e � 4x �1 � 4e � 4x �1
De to størrelser på hver sin side af lighedstegnet er ens, dvs. ligningen er en identitet, og dermed er f
en løsning til differentiallligningen.