Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Metode 2: Løsning med anden afledede.
2
f '(
x)
� x � 4x
� 5
f ''(
x)
� 2x
� 4
Først bestemmes de steder, hvor den afledede funktion har nulpunkter:
2
f '(
x)
� 0 � 0 � x � 4x
� 5 � 0 � x � 5 x �1
� 0 � x � �1
� x �
Og så bestemmes den anden afledede funktions værdier de pågældende steder:
f ''( �1)
� 2�
��1� � 4 � �6
� 0 Så her er lokalt maksimum.
f ''( 5)
� 2�
5 � 4 � 6 � 0 Så her er lokalt minimum.
Hermed gælder:
f ( x)
er voksende i intervallern
e � �;
�1
og 5;
�
f ( x)
er aftagende i intervallet
�
� � � �
� 1;
5�
� �� � 5
1.052: Metode 1: Løsning med fortegnsskema.
2
a) f '(
x)
� x �12x
For at bestemme funktionens monotoniintervaller findes først den afledede funktions nulpunkter:
2
f '(
x)
� 0 � 0 � x �12x
� x�x
�12�
� 0 � x � 0 � x �12
Fortegnet for den afledede funktion skal findes i de intervaller, der afgrænses af de fundne
nulpunkter:
f '(
�1)
�
f
'(
1)
� 1
2 ��1� �12
� ��1� 2
�12
�1
� �11
� 0
� 1�
12 � 13 � 0
2
f '(
20)
� 20 �12
� 20 � 400 � 240 � 160 � 0
Hermed bliver fortegnsskemaet for den afledede funktion:
x
f’(x) + 0
f(x)
Man har altså:
f ( x)
er voksende i intervallern
e � �;
0 og 12;
�
f ( x)
er aftagende i intervallet
0 12
� � � �
�0; 12�
-
0
+