Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Punktet (7,780) bruges til at bestemme værdien af c:
2
�0,0063�7 �0,2771�7 � �
solve 780 � x� e , x x � 152,6723
Så c = 152,67, og forskriften er:
2
�0,0063t �0,2771t
N( t) �152,67 �e ; t � 0
8.019: Vandhøjden i beholderen betegnes h.
Tiden betegnes med t.
dh
Så bliver den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig .
dt
Når denne skal være proportional med kvadratroden af vandhøjden, får man:
dh
� k � h , hvor konstanten k er negativ, da vandhøjden falder.
dt
8.020: Trykforskellen mellem beholderen og dækket er (1000 – p)
dp
Hastigheden, hvormed dæktrykket vokser, udtrykkes ved .
dt
Og med en proportionalitetsfaktor på 0,02 får man differentialligningen:
dp
� 0 , 02 � �1000 � p�
dt
8.021: Følgende størrelser er angivet:
y: Metalstykkets temperatur målt i grader celsius.
t: Tiden målt i sekunder.
y0: Omgivelsernes konstante temperatur målt i grader celsius.
a) Hermed er hastigheden, hvormed metalstykkets temperatur aftager, altså
dy
� .
dt
dy
Og så er: � � k � �y � y0
�,
hvor den første faktor er proportionalitetskonstanten og den anden
dt
forskellen mellem metalstykkets og omgivelsernes temperatur.
Differentialligningen bliver altså:
dy
� k � �y0 � y�
dt
8.022: y er antallet af personer i gruppen på 500, der har hørt rygtet.
t er tiden.
Antallet af personer, der ikke har hørt rygtet er så 500 – y.
dy
Den hastighed, hvormed y vokser, er .
dt
Produktet af det antal personer, der har hørt rygtet (y) og dem, der ikke har (500-y) er y ��500 � y�.
Da de to ovenstående udtryk er opgivet at være proportionale med hinanden med
proportionalitetsfaktoren 0,0014, har man altså differentialligningen:
dy
� 0
, 0014 � y�500
� y�
dt