Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Maj 2010: Delprøven UDEN hjælpemidler
9.104:
9.105: Ligningssystemet kan løses på flere måder. Her vises to:
1. metode (lige store koefficienters metode):
Den nederste ligning ganges igennem med 2, så der kommer lige store koefficienter foran y:
x � 2y � �2� � x � 2y � �2
�
� � � � � 6x � x �18 � ( �2) � 5x � 20 � x � 4
3x � y � 9 � �6x � 2y �18�
Dette indsættes i den nederste ligning for at bestemme y-værdien:
3� 4� y�9�y�12�9� 3
Dvs. at ligningssystemet har løsningen �xy , � � �4,3� 2. metode (substitutionsmetoden):
y isoleres i den nederste ligning og indsættes i den øverste:
y�3x� 9 indsættes i den øverste ligning:
� �
x � 2� 3x �9 � �2 � x �6x �18 � �2 � �5x � �20 � x � 4
Dette indsættes i den nederste ligning for at bestemme y-værdien:
3� 4� y�9�y�12�9� 3
Dvs. at ligningssystemet har løsningen �xy , � � �4,3� 3
9.106: f ( x) � 2� ln( x) �5 � x
Der differentieres ledvist, hvorefter differentialkvotienten i 2 bestemmes:
1 2 2 2
f '( x) � 2� � 5� 3x � �15x
x x
2 2
f '(2) � �15� 2 �1 �15� 4 � 61
2
2 2 2
9.107: x �6x � y � 2y � z � 6
Ligningen omskrives så centrum og radius kan aflæses:
�x � � y � �z �
Dvs. at C�� � r �
2 2 2 2 2 2 2
�3 � �1 � � 0 � 6 � 3 �1 � 0 �16 � 4
3, 1,0 og 4
x
9.108: f ( x) � x� e � 3x y
y ' � y � � 3x
x
Det undersøges om f er en løsning til differentialligningen ved at indsætte i differentialligningen og
se, om man får en identitet (et udsagn sandt for alle x-værdier). For at kunne gøre dette, skal
funktionen dog først differentieres (der differentieres ledvist og til første led benyttes produktreglen):
x x x
f '( x) �1� e � x� e � 3 � e 1� x � 3
� �
Indsættelse i differentialligningen:
x
x x x �e�3x e �1� x� � 3 � x �e � 3x � � 3x
x
�
x
e 1� x
x x
� 3 � x �e � e � 3 �
� �
�1�����1� x x
e x e x
De to størrelser på hver sin side af lighedstegnet er ens, dvs. ligningen er en identitet, og dermed er f
en løsning til differentiallligningen.