Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil
Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil
Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Løsning</strong>erne er hentet på www.<strong>szymanski</strong><strong>spil</strong>.dk Bræt<strong>spil</strong>lene: Sportsnørd, Ashram og MIR<br />
a) For at finde den spidse vinkel mellem planen og linjen skal man først bestemme vinklen mellem<br />
en normalvektor for planen og en retningsvektor for linjen.<br />
� 2 �<br />
� �<br />
En normalvektor for planen aflæses ud fra dens ligning <strong>til</strong>: n� �<br />
�<br />
�1<br />
�<br />
��2� � �<br />
� 7 �<br />
� �<br />
En retningsvektor for linjen bestemmes ud fra de oplyste punkter: r �OP� �<br />
3<br />
�<br />
��2� � �<br />
Vinklen mellem disse to vektorer bestemmes ved:<br />
n 1 2 7 � 1� 3 2 � 2 � �r � � � � � � � � � � � �1�<br />
15 �<br />
cos w��w�cos� ��cos50,579968 2 2 2 2 2 2 � ��<br />
�<br />
n � r<br />
� 2 �1 � 2 � 7 �3 � 2 � �3�62� �<br />
Dette er vinklen mellem den valgte normalvektor og retningsvektor, så den spidse vinkel mellem<br />
planen og linjen er:<br />
v�90��w�90��50,579968��39,420032� b) For at bestemme en ligning for en kugle, skal man kende centrums koordinater og cirklens radius.<br />
Kuglen har centrum i P, så man mangler kun at finde dens radius.<br />
Da kuglen skal tangeres af �, svarer radius <strong>til</strong> afstanden mellem punktet P og planen �:<br />
a � x1 � b � y1 � c � z 2 7 3 2 1 � d � � � �� �2� � 6 9 9<br />
r � dist( P,<br />
�)<br />
� � � � � 3<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a �b �c 2 � �1 � �2<br />
9 3<br />
Hermed bliver cirklens ligning:<br />
�x � � y � �z �<br />
2 2 2<br />
� 7 � �3 � � 2 � 9<br />
� � � �<br />
c) Projektionen af P på planen er skæringen mellem planen og den linje, der går gennem P og står<br />
vinkelret på planen.<br />
Som retningsvektor for den pågældende linje skal man derfor benytte en normalvektor for planen<br />
(der kendes fra spørgsmål a)). En parameterfrems<strong>til</strong>ling for linjen er dermed:<br />
� x � � 7 � � 2 �<br />
� � � � � �<br />
�<br />
y<br />
�<br />
�<br />
�<br />
3<br />
�<br />
� t�<br />
�<br />
�1<br />
�<br />
� z � � �2���2� � � � � � �<br />
Koordinaterne fra parameterfrems<strong>til</strong>lingen indsættes nu i planens ligning for at finde skæringen<br />
mellem linjen og planen:<br />
2� 7 � 2t � 3� t � 2� �2 � 2t �6 � 0 � 9t �9 � 0 � t � � 1<br />
� � � � � �<br />
Denne værdi indsættes i linjens parameterfrems<strong>til</strong>ling:<br />
� x � � 7 � � 2 � � 5�<br />
� � � � � � � �<br />
�<br />
y<br />
�<br />
�<br />
�<br />
3<br />
�<br />
�1� �<br />
�1 �<br />
�<br />
�<br />
4<br />
�<br />
� z � � �2���2��0� � � � � � � � �<br />
9.132: 0,000193 V �139,6 V�<br />
. Dvs. projektionen er Q �5,4,0 �<br />
dV<br />
� � � � ; V er vægten af en gris målt i kg og t er tiden i døgn efter grisen<br />
dt<br />
begynder at indtage fast føde.<br />
Da grisen vejer 7,3kg, når den begynder at indtage fast føde, har man punktet (0;7,3).<br />
a) Differentialligningen beskriver logistisk vækst, og den fuldstændige løsning er:
Change language