Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
x
f’(x) + 0
f(x)
Så man har:
f er voksende i ��, �3 og i 3, �
f er aftagende i
� � � �
��3,3� 8.013: a) Hastigheden hvormed N(t) vokser til tiden t er dN
dt .
� �
Forskellen mellem 10 6 6
og antallet af individer til tiden t er 10 � N�t� Hermed bliver differentialligningen:
dN �t �
�8
6
� 2�10 � N �t �� �10 � N �t ��
dt
b) N �0� � 200000
-3 3
Den generelle løsning til differentialligningen er:
6
10
N�t�� �8 6
�2�10 �10 �t
1�ce
�
6
10
� �0,02�t 1�ce
�
Ved indsættelse af det kendte punkt bestemmes værdien af c:
6
10
200000 �
1�
c
� 1� c�5�c�4 Dvs. at den søgte løsning er:
6
10
N �t � � �0,02�t 1�4�e ; t �0
Hvor definitionsmængden ikke kan angives med sikkerhed, da opgaveteksten er for sparsom. Alle
reelle tal er en anden mulighed for Dm.
c) Væksthastigheden for logistisk vækst er størst, når populationen er på det halve af sit maksimum,
der er tallet i tælleren, dvs. i dette tilfælde 1.000.000.
Så der er altså 500.000 individer i populationen, hvor væksthastigheden er størst.
dN
8.014: a) Den hastighed, hvormed antallet af individer vokser, er .
dt
Produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10 6 og antallet af individer til tiden t
6
er: N � �10 � N�.
dN
�8 6
Hermed bliver differentialligningen: � 2 �10
� N � �10 � N �
dt
b) Den generelle løsning til denne logistiske ligning er:
-
0
+