Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
251
Dvs. at skålens trærumfang er: V � �� � 262,85
3
7.010: f ( x)
� x � sin�x�
a) Funktionen differentieres ledvist:
f '( x)
� 1�
cos( x)
b) Da cosinusfunktionen mindst antager værdien -1, vil den afledede funktion være positiv bortset fra
enkelte steder, hvor den antager værdien 0 (stederne er x � � � p � 2�
, men det er irrelevant).
Funktionen er dermed voksende, og der kan altså højst være en løsning til ligninger af typen f(x)=c.
Nu mangler det at blive vist, at der altid er løsninger til denne type ligninger. Dette ses ved at
undersøge, om f antager alle værdier (dvs. om Vm(f)=R):
f ( x)
� �� for x � �� , da sin(x) ligger mellem -1 og 1, hvorfor leddet x dominerer.
f ( x)
� � for x � �
Hermed er det vist, at alle værdier antages, og altså har ligninger af typen f ( x)
� c netop én løsning.
c) f(0)=0, så den nedre grænse ved beregning af arealet er x=0.
a-værdien bestemmes på grafregneren ved:
solve x � sin x , x,
0,
a � 2,
a
� � � � � �
�
Grafregneren giver to løsninger: a = 1,47817027 eller a = -1,47817027
Den negative løsning kan ikke bruges, da man arbejder i 1. kvadrant, så a � 1,
4782
x
7.011: f ( x)
� e � 2x
a) ”Skitse”:
14
12
10
8
6
4
2
0
-5 -3 -1 1 3 5
For at bestemme grafens forløb findes først den afledede funktion:
'( ) � � 2
x
f x e
Monotoniforholdene bestemmes: