Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
2
2
1.005: C : x � 4x
� y � 2y
�11
l : y � x �1
For at finde skæringspunkter indsættes liniens ligning i cirklens:
2
x � 4x
�
2
x �1
� 2 � x �1
� 11 �
x
2
2x
2x
x
2
� 4x
� x
2
2
� 8
� 4
x � �2
� 8 � 0
� � � �
�
2
�
�1
� 2x
� 2x
� 2 �11
� 0
�
�
Disse værdier indsættes i linjens ligning (fordi det er nemmest, og fordi cirklens ligning ville give to
muligheder for hver x-værdi, hvoraf kun den ene kunne bruges):
x � �2
: y � �2
�1
� �1
x �
2 :
y � 2 �1
� 3
Hermed er koordinatsættene til skæringspunkterne �� 2; �1�
& �2; 3�
1.006: C�3, � 2� P�0,2�
En normalvektor for den søgte tangent er:
� 3� 0 � � 3 �
n � PC � � � � � �
� �2 � 2� � �4�
Da den går gennem punktet P, bliver dens ligning:
3 x � 0 � 4 y � 2 � 0 � 3x � 4y �8 � 0
� � � �
1.007: Cirklens ligning omskrives, så centrum og radius kan aflæses:
2
2
x � 8x
� y � 4y
� 10 �
2
2
�x � 4�
� �y � 2�
� 10 �16
� 4 � 30
Hermed er:
C ( �4; 2)
r �
30
1.008: Opgaven løses på to forskellige måder:
1. metode (substitution): x isoleres i linjens ligning og indsættes cirklens:
x � 8 � 2y
indsættes:
( 8 � 2y)
64 � 4y
2
2
2
� 6 �
�8 � 2y�
� y
� 32y
� 48 �12y
� y
2
� 4y
� 3 � 0
2
� 4y
� 3 � 0
5y
�16y
�13
� 0
Dette er en andengradsligning, hvor diskriminanten bestemmes:
� 16� 4 5 13 256 260 4 0
2
� � � � � � � � �
�
�
d �
Der er altså ingen løsninger til ligningen, dvs. der er ingen punkter (x,y), der ligger på både
cirklen og linjen, og altså kan linjen heller ikke være tangent til cirklen.
Så l er ikke
tangent
til C