Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
2.007: Da x>y, den sidste side 1 og omkredsen 10, så må x være den længste side i trekanten. Da trekanten
er retvinklet, er x altså hypotenusen, og man har så følgende 2 ligninger:
x � y �1
� 10 � x � y � 9 � y � 9 � x
x
2
� y
2
�1
2
Ved indsættelse af den øverste ligning i den nederste fås:
x
x
2
2
�9 � x�
� 81�
x
18x
� 82 �
x �
�
82
18
�
2
2
41
9
�1
�
�18x
�1
�
2 2
2.008: C : x � 4x � y �6 y � 23 � 0
l :3x � 4y � 4 � 0
a) For at bestemme afstanden fra cirklens centrum til linien, skal man omskrive cirklens ligning, så
centrum (og radius) kan aflæses:
� �
� � � �
2 2
2 2
x x y y x y
� 4 � � 6 � 23 � 0 � � 2 � � 3 � 23� 4 � 9 � 36
C �2,3r �6
Så er afstanden fra linien til cirklens centrum:
a � x0 � b� y 3 0 � c ���2 � � 4� 3� 4 �22
22
dist( P, l)
� � � �
2 2 2 2
a �b 3 �4
25 5
b) Linier, der er parallelle med l, er på formen 3x � 4y � k � 0
Hvis de samtidig skal være tangenter til cirklen, skal deres afstand til cirklens centrum svare til
radius. Dermed skal gælde:
3�� �2� � 4� 3� a �18 �a
� 6 � � 6 � �18 � a � 30 �
2 2
3 � 4
5
�18 � a � 30 � �18 � a � �30 � a � 48 � a � �12
Hermed er de søgte tangenters ligninger:
t :3x � 4y � 48 � 0
1
t :3x � 4y �12 �
0
2