Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
9.147:
9.148:
9.149:
�� 3 t
9.150: g '( t) � 675000 �t �e ; 0 � t � 4 ; g(0)
� 0
g(t) angiver mængden af optaget glukose målt i mg.
t er tiden efter indtagelsen målt i timer.
Den mængde glukose, der er absorberet 4 timer efter indtagelsen, svarer til g(4).
Det er en differentialligning på den simplest mulige form, hvor den afledede af en funktion, men ikke
funktionen selv indgår. Derfor kan funktionen bestemmes ved integration (på TI n’spire):
Og når man husker konstanten har man altså:
��t
g( t) � g '( t) dt � �75000 � 3t �1 �e � k
�
� � 3
Da g(0) = 0 har man:
��
0 � �75000 � 3�0 �1 �e � k � k � 75000
� � 30
Og så er:
g(4) 75000 3 4 1 e 75000 74994
��
� � � � � � � �
� � 34
Dvs. at 4 timer efter indtagelsen er der ifølge modellen optaget 74994mg glukose.
Dette kunne også være beregnet ved hjælp af det bestemte integral, da man har:
� �
g(4) � g(0) � g( t) � g '( t) dt
4
�
0 0
4
4 4 4
� � �
g(4) � g '( t) dt � g(0) � g '( t) dt � 0 � g '( t) dt
0 0 0
Dvs. man kunne på TI n’spire have indtastet:
dM
� 0,000369 � M � 15,50 � M
dx
; 0 � x � 1000
Dette er en differentialligning for logistisk vækst, og den fuldstændige løsning er dermed:
15,50
M( x)
� �0,000369�15,50 �x 1�c�e 15,50
� �0,0057195� x
1�c�e
Løsningskurven skal gå gennem (400;13,1), og på TI n’spire kan konstanten så bestemmes:
9.151: � �