Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Metode 3:
Løses ved separation af de variable. Der er to mulige intervaller for h, men da det er en højde, vælges
h > 0:
�
3
2
�
h dh � � 20dt
5
2 2
�
h � �20
�t
� k
5
Konstanten k bestemmes ud fra oplysningen om, at væskehøjden er 25 fra start:
5
2 2
� 25
5
� �20
� 0 � k � k � 1250
Og så kan h isoleres:
2
h
5
h
5
2
h �
5
2
�
� �20
�t
�1250
5
2
�
�� 20t�
5
� �1250
2
2
5
�
�
�� 50t
� 3125�
; 0 � t � 62,
5
Hvor den nedre grænse for definitionsmængden er starttiden og den øvre er det tidspunkt, hvor
højden er 0.
dN
dt
0 ; N er folketallet som funktion af tiden t i år.
Differentialligningen fortæller, at befolkningstallet fra start (t = 0) vil vokse med 2,5% om året, da
parentesen i differentialligningen bliver 0,025 for t = 0.
Befolkningstallet vil så vedblive med at vokse – men med færre og færre procent om året – indtil:
0,
025 � 0,
0004t
� 0 �
8.024: � � , 025 � 0,
0004t�
� N
0,
025
t � � 62,
5
0,
0004
Dvs. 62,5 år fra start vil befolkningstallet toppe, hvorefter det begynder at aftage, da
væksthastigheden bliver negativ. Aftagningen vil ske med flere og flere procent om året, men en
model af befolkningstallet vil ikke kunne forudsige udviklingen så langt ude i fremtiden, så modellen
vil alligevel ikke holde til det punkt, hvor befolkningstallet skulle falde med mere end 100% om året.