Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Den generelle løsning til ovenstående differentialligning er:
100
y � �0,0022�100 �t 1�c�e 100
� �0,22�t 1�c�e
, hvor 100 er populationens maksimum.
Fra b) kendes punktet (7,18), der kan bruges til at bestemme c TI N’spire-indtastningen:
� 100 �
solve�18 � , x �0,22�7� � 1�xe
� �
Så c � 21,25
x �21,249800
Dermed kan antallet af døgn for at nå 90 individer bestemmes:
� 100 �
solve�90 � , x �0,22�x 1 21,25 e
�
� � � �
Dvs. at der skal gå ca. 24 døgn
x �23,87987
�S � S �
dSt K � St
� max t
8.010: Den opgivne differentialligning er:
dt
�
Smax
.
K=0,069 Smax = 12 S0 = 0,5
a) Med disse oplysninger bliver differentialligningen:
dSt
0,
069 � St
� �12 � St
�
� � 0,
00575�
St
� �12 � St
�
dt 12
Dvs. det er en logistisk ligning med det generelle løsningsudtryk:
12
12
St �t� � � St
�t� �
�0,
00575�12�t
�0,
069�t
1�
c � e
1�
c � e
Startbetingelsen bruges til at finde konstanten c:
12
0, 5 � �0,
069�0
1�
c � e
�
12
0,
5 �
1�
c
� 1�
c � 24
Man har altså løsningen
12
St � �0,
069�t
�t� ; t � 0
1�
23�
e
�
c � 23
12
Og så er: St �20� � � 1,
76826667
�0,
069�20
1�
23�
e
Dvs. når løgfrøhaletudsen er 20 døgn gammel, er den 1, 77cm
lang.
b) For en logistisk ligning fås den største væksthastighed, når halvdelen af maksimum er nået, dvs.
her 6 cm. Så det pågældende tidspunkt findes ved solve:
�
�
solve� � x
� �x
�
� � � e �
,
12
6 , der giver x = 45,4419
0 , 069
1 23
Dvs. den største væksthastighed er i det 45 . døgn .
t
8.011: Haletudsernes længde kan beskrives ved den logistiske ligning: � 0 , 00575�
S � �12 � S �
Desuden oplyses, at S t ( 0)
� 0,
5.
a) For St = 4 har man:
dS
dt
t
t