Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Dm( f ) � �� ;5 , da man ikke kan tage kvadratroden af noget negativt.
Det bemærkes, at � �
a) Først skal det afgøres, hvad det er for en punktmængde M, hvis areal skal bestemmes. Dvs. man
skal finde ud af, hvordan graferne for de to funktioner ligger i forhold til hinanden og i forhold til
den lodrette linje med ligningen x = -3 samt førsteaksen.
Eventuelle skæringspunkter mellem de to grafer bestemmes, da det kan have betydning for,
hvilke grænser der skal anvendes på de bestemte integraler:
På TI-nspire indtastes: solve( 10 � 2 x � �x, x) , der giver x � � 4,32 (og hermed y = 4,32)
Det er for tidligt at sige, om dette tal skal bruges til noget, da man endnu ikke ved, om det
relevante område ligger til venstre eller til højre for linjen med ligningen x = -3.
Grafen for f skærer førsteaksen i x=5 (da funktionsværdien her er kvadratroden af 0), mens
grafen for g skærer førsteaksen i x = 0 (hvilket ses af funktionsudtrykket, da -0 = 0).
Vi kender nu de præcise værdier for de væsentlige punkter i nedenstående figur, hvor graferne
for de to funktioner er indtastet sammen med linjen med ligningen x = -3.
Arealet af punktmængden M bestemmes altså ved at opdele integrationen i to intervaller:
0 5
� �
A � f ( x) � g( x) dx � f ( x) dx
M
� �
�3
0
Dette udregnes på TI-nspire ved indtastningen:
Dvs. at arealet af det søgte område er:
101
AM �
6
b) Når punktmængden M drejes 360° omkring førsteaksen fremkommer et omdrejningslegeme, hvis
rumfang lige som arealet kan opdeles i to dele. Toppen (fra x = 0 til x=5) er ligetil, da
omdrejningslegemet her alene er dannet af grafen for f(x).
Rumfanget af bunden (fra x=-3 til x=0) bestemmes ved først at tage rumfanget af det
omdrejningslegeme, der frembringes af grafen for f(x), og derefter fratrække rumfanget af
omdrejningslegemet frembragt af grafen for g(x).