Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Så den fuldstændige løsning er:
20 �3x
y � � c � e
3
Punktet P’s koordinater indsættes for at bestemme konstanten:
20 �3�1
4 � � c � e
3
8 3
c � � � e
3
�
Og hermed er den søgte løsning:
20 8 3 �3x
20 8 �3x�3
y � � � e � e � � � e
3 3 3 3
; x � R
2. metode: Løsning ved hjælp af lommeregnerens differentialligningsløser:
Differentialligningen løses ved indtastningen:
Så den fuldstændige løsning er:
20 �3x
y � � c � e
3
Punktet P’s koordinater indsættes for at bestemme konstanten:
20 �3�1
4 � � c � e
3
8 3
c � � � e
3
�
Og hermed er den søgte løsning:
20 8 3 �3x
20 8 �3x�3
y � � � e � e � � � e
3 3 3 3
; x � R
8.005: (*) y'� y � 20x
� 3 P(
1,
4)
Dette er en lineær 1. ordens differentialligning. Den kan løses på tre måder:
1) Metode hvor der gættes en partikulær løsning.
Da højresiden af (*) er et førstegradspolynomium, ses på en løsning af denne type:
p(
x)
� ax � b
p'(
x)
� a
Dette indsættes for om muligt at finde brugbare værdier for a og b.
a � ax � b � 20x
� 3 �
( a � 20)
x � ( a � b � 3)
� 0
Da dette udsagn skal være sandt for alle værdier af x, skal man have leddet med x til at forsvinde, og
dermed skal a = 20.c
Det andet led skal så være nul for at udsagnet er sandt, og dermed har man: b = -17
Den partikulære løsning er altså:
p ( x)
� 20x
�17
Den fuldstændige løsning til y'�h( x)
� y � g(
x)
er mængden af løsninger, der kan skrives på formen
�H
( x)
y � c �e
� p(
x)
, hvor H(x) er en stamfunktion til h(x), p(x) en vilkårlig partikulær løsning til
differentialligningen og c en arbitrær konstant.
Da den partikulære løsning er fundet, og da h(x)=1, har man altså den fuldstændige løsning: