Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
9.117:
dr
9.118: � �0,025 �r r(0)
� 0,017
dt
9.119:
a) Differentialligningen kan løses på flere måder, hvoraf to vises her:
Metode 1:
På TI n’spire indtastes:
b)
Dvs. at den fuldstændige løsning er:
( ) 0,9753099 t
r t �c� , hvor c er en konstant.
Da man kender funktionens begyndelsesværdi, kan konstanten bestemmes:
0
0,017 � c�0,9753099�c� 0,017
Dvs. at den søgte partikulære løsning er:
( ) 0,017 0,9753099 t
rt � �
Metode 2: Differentialligningen genkendes som en ligning af typen
fuldstændige løsning , så den fuldstændige løsning til differentialligningen er:
.
Konstantens værdi bestemmes som ovenfor, og man får altså:
med den
N(0) = 106,5
Denne differentialligning ville kunne løses ved separation af de variable, men det kan også gøres
på TI n’spire ved indtastningen:
Den første indtastning giver den fuldstændige løsning til differentialligningen, men man ved den
anden indtastning udnytter kendskabet til begyndelsesværdien til at bestemme værdien af
konstanten, således at den søgte løsning er:
Den sidste indtastning er benyttet til at finde ud af, hvornår befolkningstallet når 200 millioner.
Det ses altså, at befolkningstallet ifølge modellen når 200 millioner mennesker 104,5 år efter
2007.
Den lange tid skyldes, at vækstraten er eksponentielt aftagende.