Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
3 2
dh
�
2 8.023: � �20 �h h( t) � ��50 �t � 3125�
5
dt
Opgaveteksten er muligvis ikke formuleret efter hensigten. Man bliver ”kun” bedt om at vise, at den
angivne funktion er en løsning til den angivne differentialligning, men med informationen om, at
væskehøjden i tragten fra start er 25cm, lægges der op til, at man skal vise, at den angivne funktion
er den løsning til differentialligningen, der opfylder begyndelsesbetingelsen.
Her gennemgås løsningen, som om man søger den partikulære løsning, der opfylder
begyndelsesbetingelsen.
Metode 1: Det tjekkes, om funktionen opfylder begyndelsesbetingelsen:
2 2
2
5 5
2
(0) 50 0 3125 5 3125 3125 5 25
� �
h � � � � � � � �
Dvs. funktionen passer med, at væskehøjden fra start er 25cm.
Så undersøges det, om funktionen er en løsning til differentialligningen. Dette gøres ved at
differentiere funktionen, der er en sammensat funktion, hvorefter det undersøges, om
højre- og venstresiden i differentialligningen er identiske, dvs. om der fremkommer en
identitet:
2 3
2
�1� h'( t) � �50� ���50t � 3125� 5 � �20� ��50t � 3125�
5
5
3
3 2
�
� 2 � 3 �
3
2 � �
� � �
5 5 2 5
2
� �
� � � � � � � �
�20 �h( t) � �20� � �50t � 3125
�
�
�
� �20� �50t � 3125 � �20� �50t � 3125
De to udtryk er identiske, dvs. funktionen er løsning til differentialligningen.
Metode 2: Det tjekkes, om funktionen opfylder begyndelsesbetingelsen:
2 2
2
5 5
2
(0) 50 0 3125 5 3125 3125 5 25
� �
h � � � � � � � �
Dvs. funktionen passer med, at væskehøjden fra start er 25cm.
Så undersøges det, om funktionen er en løsning til differentialligningen. Dette gøres på TI
n’spire ved først at definere funktionen og derefter undersøge om man ved indsættelse i
differentialligningen får en identitet:
Normalt skal man få resultatet ”Sandt” ved indtastningen af solve(…), da udsagnet skal
125
være sandt for alle t-værdier for at være en identitet. Men resultatet t � viser, at
2
udsagnet er sandt for alle t-værdier mindre end eller lig 62,5 sekunder, og dermed passer
løsningen i det pågældende interval (0 til 62,5 sekunder), da den øvre grænse netop er det
tidspunkt, hvor den sidste væske ifølge funktionsudtrykket forlader tragten.
Da funktionsudtrykket for h(t) både opfylder begyndelsesbetingelsen og
differentialligningen i det relevante interval, er det den søgte løsning.