Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
2
1.068: f ( x)
� 9 � x g(
x)
� x � 3
Inden, der kan tegnes en skitse, bestemmes evt. skæringspunkter mellem graferne for de 2
funktioner:
f ( x)
� g(
x)
�
9 � x
0 � x
0 �
2
2
� x � 3
� x � 6
�
�
�x � 3��
�x � 2�
�
x � �3
� x � 2
Skæringspunkterne kunne også være fundet ved diskriminantmetoden.
Parablen vender benene nedad, så mellem de 2 skæringspunkter må den ligge øverst:
En skitse skal så vise skæringspunkterne samt at parablen ligger øverst mellem disse.
Punktmængden areal er så:
A �
�
2
�3
2
2
2
2
� f ( x)
� g(
x)
�dx � � �9 � x � x � 3�dx
��
�� x � x � 6�
2
�3
� 1 3 1 2 � � 1 3
�
� x � x � 6x
2
3 2 �
� ��
� �
�
� �3
� 3
8
9 9
� � 2 �12
� 9 � �18
� 19 � �
3
2 2
1
2
8
3
�3
2 � � 1
� 2 � 6 � 2�
� ��
�
� � 3
114 27 16 125
� � � �
6 6 6 6
dx �
1
2
3
2
�� 3�
� � �� 3�
� 6 � �� 3�
1.069: Da punktmængden M1 er placeret under førsteaksen, vil det bestemte integral give en negativ værdi,
hvis størrelse svarer til arealet af M1. Så man har:
2
62
� ( ) � � � �
3 1 15
�
f x dx AM
�
1.070:
Det andet bestemte integrals værdi bestemmes ved at opdele i de 3 intervaller:
3
�2
2
3
� f ( x)
dx � ( ) ( ) ( )
3 � f x dx �
3 � f x dx �
2 � f x dx � �AM
� A � �
2
1 M A
�
�
�
2 M 3
62 1312 62 1188 396
� � � � �
15 15 15 15 5
� � P( � 2,0) O(0,0) Q�2,0
�
3
f ( x) x 4x
Da det er oplyst, at grafen skærer 1. aksen i ovenstående tre punkter, fremgår det af figuren, at
punktmængden M ligger over x-aksen i intervallet [-2,0].
Dermed kan arealet af M bestemmes ved anvendelse af en vilkårlig stamfunktion til f:
3 1 4 2
� f ( x) dx �� �x � 4x� dx � x � 2x
� k
4
Som stamfunktion F vælges ovenstående udtryk med k=0, og arealet er så:
1 4 2 �1 4 2�
AM � F �0� � F ��2� � �0 � 2� 0 �� ���2 � � 2� ��2� ���4�8�4
4 �4 �
Man kunne også have skrevet:
0 0
0
�1 � � 1 4 2�
3 4 2
� �
� � � �
� � � �
AM � f ( x) dx � x � 4x dx � � x � 2x � 0 � 0 � � � �2 � 2� �2 ��4
�4 � � 4
�
�2 �2 �2
�
� �
�