Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
�6x
7.016: f ( x)
� 6�
e
a) Da eksponentialfunktioner altid giver positive værdier, vil den pågældende punktmængde ligge
over førsteaksen, og dermed kan areal – og således sandsynligheden – bestemmes som det bestemte
integral:
A �
�
1
3
6�
e
�6x
dx �
Dvs. at sandsynligheden er 0 , 25%
3
�6x
�6�3
�6�1
�6
�18
�� e � � �e
� �� e � � e � e � 0,
0024787
1
dy x � 2
8.001: a) Differentialligningen � er givet, og det er oplyst, at f(x) er en løsning til den.
dx y
Da f er en løsning, og punktet P(2,-2) ligger på grafen for f, kan hældningen for tangenten til grafen i
dy
dette punkt findes ved indsættelse i differentialligningen. Det udnyttes nemlig, at netop angiver
dx
tangenthældningen i det pågældende punkt.
dy 2 � 2
f '( 2)
� � � �2
dx � 2
Og så bliver tangentens ligning:
y � � 2 � �2
� x � 2 � y � �2x
�
� � � � 2
dy
8.002: � �2
x � y
dx
Differentialligningen bruges til at bestemme tangenthældningerne ved indsættelse af punkterne:
I punktet (1,e) er:
a1 � �2
�1�
e � �2e
I punktet (-1,e) er:
a � �2�
�1
�e
� 2
2
� � e
Vinklen mellem de to tangenter kan bestemmes med og eller uden anvendelse af vektorregning.
Først metoden uden vektorer:
Metode 1: Den vinkel, som den første tangent danner med førsteaksen, bestemmes:
tan v � a
� �
1
1
�1
�a � � tan �� 2e�
� �79,
5775�
v1
�1
� tan 1
Den anden tangent har samme størrelse hældning med modsat fortegn, så dens vinkel med
førsteaksen er:
v 2 � 79,
5775�
Den stumpe vinkel, som de to tangenter danner, er så:
� v � v �159,
1551�
w stump
2
1
Og dermed er den spidse vinkel:
v � 180�
�159,
1551�
� 20,
8449�
spids
Metode 2: Da man kender hældningerne for de to tangenter, kan man bestemme retningsvektorer for
de to linjer: