Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Dvs. man har:
�
0
� � ��
4 2
V � � � f x dx �103,4
dy 1
dx x
a) Dette er en lineær 1. ordens differentialligning, der kan løses på flere forskellige måder.
� y �
deSolve �y'��1, x, y� � x �
der giver y � x� ln x � @1�
x
På TI n’spire tastes det samme, og resultatet bliver y � x� ln �x� � c1� x .
9.032: � � y� 1 P�1,4�
1) På TI-89 indtastes � �
I Maple indtastes: >
Dvs. at den fuldstændige løsning er ln � �
Konstanten bestemmes ved indsættelse af punktet:
4 �1� ln 1 � k�1�k � 4
� �
Dvs. at den søgte løsning er � �
y � x� x � k � x , hvor k er en konstant.
y � x� ln x � 4 x ; x � 0
dy 1
2) Ligningen omformes: � � y�1 dx x
�
dy 1
� � y�
1
dx x
1
Heraf aflæses h� x� � �
x
g �x � � 1,
og man ser på intervallet x > 0, hvor punktet ligger.
Den fuldstændige løsning kan så bestemmes:
� �
1
x �� dx � x� �ln x � k � � x �ln x � k � x
x
Herefter kan konstanten bestemmes som vist ovenfor.
� �
�1
�H�x�H�x�lnx �ln
x ln� x� �ln�x�ln�x�
y e g x e dx e e dx e e dx x e dx
� � � �
� � � � � � � � � �
3) Man kan også prøve at gætte en partikulær løsning, men i dette tilfælde er det ikke den
p( x) �x� ln x .
nemmeste metode. Man skulle så gætte den partikulære løsning � �
dN 0,08t �1
� N ; t � 0,5 N 1 �1,2 � 10
dt t
a) Opgaven kan besvares ved at løse differentialligningen med separation af de variable eller
ved at bruge deSolve på lommeregneren, hvorefter man kan arbejde med løsningen. Men det
ville være en omvej at bruge disse metoder. Opgaven kan besvares direkte ved at se på
differentialligningen:
Væksthastigheden til t = 1 kan bestemmes, da man også kender populationens størrelse til dette
tidspunkt. Så man har:
dN 0,08t �1
� N
dt t
dN 0,08 �1�1 6 6
� �1,2 �10 � �1,104 �10
dt t�1
1
6
Dvs. at populationen falder med 1,1�10 individer pr. døgn efter 1 døgn.
9.033: � � 6