Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Metode 2: Løsning med anden afledede.
2
a) f '(
x)
� x �12x
For at bestemme funktionens monotoniintervaller findes først den afledede funktions nulpunkter:
2
f '(
x)
� 0 � 0 � x �12x
� x x �12
� 0 � x � 0 � x �
� � 12
Så bestemmes den anden afledede af f:
f ''( x)
� 2x
�12
Den anden aflededes værdier bestemmes de steder, hvor den afledede funktion har nulpunkter:
f ''( 0)
� 2�
0 �12
� �12
� 0 Dvs. f har lokalt maksimum i stedet x = 0
f ''( 12)
� 2�12
�12
�12
� 0 Dvs. f har lokalt minimum i stedet x = 12.
Hermed må der gælde:
f ( x)
er voksende i intervallern
e � �;
0 og 12;
�
f ( x)
er aftagende i intervallet
� � � �
�0; 12�
3 2
1.053: f ( x)
� �2x
� x � 4x
� 3
For at finde hældningen for tangenten til grafen for f i punktet bestemmes først den afledede funktion
og derudfra differentialkvotienten det pågældende sted:
2
f '(
x)
� �6x
� 2x
� 4
f '(
0)
� 4
Hældningen for linjen m findes ved at omskrive ligningen:
4x � y � 2 � 0 � y � 4x
� 2
Som det ses, er hældningen 4, og dermed er tangenten enten parallel med linjen eller
sammenfaldende med denne.
Så y-værdierne i stedet x=0 findes:
f ( 0)
� �3
x � 0 : y � 4�
0 � 2 � 2
Tangenten og linjen er altså ikke sammenfaldende og må være parallelle .
1.054: Dm ( f ) � �2; 10�
Vm�
f � � �� 3;
8�
x
f(x)
2 3 5
8
10
f’(x) i.d - 0 + 0 + 0 -
i.d
i.d
e �
�3; 8�
2;
3�
�8; 10�
f ( x)
er aftagende i intervallern
f ( x)
er voksende i intervallet
Der er lokalt minimum for x = 3.
Der er vendetangent i x = 5.
Der er lokalt maksimum i x = 8.
� og
Ifølge værdimængden har funktionen et globalt minimum på -3, og det kan ifølge fortegnsskemaet
kun være værdien for x = 3, da funktionen ikke er defineret i x=10 og derfor ikke kunne have et
globalt minimum i dette punkt. Dvs. f(3) = -3
Det lokale maksimum må også være globalt maksimum, dvs. f(8) = 8
En graf skal altså opfylde ovenstående kriterier.
i.d