Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
6
6
10
10
N( t)
� �
�8 6
�2�10 �10
�t
�0,
02�t
1�
c � e 1�
c � e
5
Betingelsen N ( 0)
� 2,
0�10
bruges til at finde konstanten c:
6
5 10
2, 0 �10 �
�0,
02�0
1�
c � e
�
2,
0
10
�
1�
c
�
c � 4
Den største væksthastighed er der, hvor populationen er halvdelen af sit maksimum (på 1000000), og
her findes så tidspunktet med solve:
� �
�
�
solve� � � x
� �x
� � � e �
,
6
10
500000 , der giver x = 69,3147
0,
02
1 4
Så væksthastigheden er størst i det 69 . døgn
� �
�8 6
8.015: Den opgivne differentialligning er en logistisk ligning: N ( t)
� 2�10
� N(
t)
� 10 � N�t
�
' .
a) Lad t1 være det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er 500.000.
Så er:
�8
6
N '(
t ) � 2�10
�500.
000�
10 � 500.
000 �
1
� � 5000
Dvs. at til dette tidspunkt vokser populationen altså med 5000 individer i døgnet .
b) Da det er en logistisk ligning, er grafen en parabel med benene nedad (ses på udtrykket, hvis der
ganges ind i parentesen), og den maksimale væksthastighed fås ved halvdelen af den maksimale
population (der ifølge ligningen aldrig nås), hvilket blev behandlet i a)
dN
N � 0 : � 0
dt
dN
N � 500000 : � 5000 Toppunktet
dt
dN
N � 1000000 : � 0
dt
Ud fra disse tre punkter kan en skitse tegnes (bemærk at populationen ikke kan følge modellen ude i
enderne, da der nødvendigvis må være et antal individer til at begynde med, og da antallet ifølge
modellen ikke når 1000000).
Væksthastighed (individer
pr. døgn)
5000
4000
3000
2000
1000
0
Logistisk ligning
0 200000 400000 600000 800000 100000
0
Individer i population